De Morgans lov er den vanligste loven i settteori og boolsk algebra så vel som settteori. I denne artikkelen vil vi lære om De Morgans lov, De Morgans lov i settteori og De Morgans lov i boolsk algebra sammen med dens bevis, sannhetstabeller og logiske portdiagrammer. Artikkelen inkluderer også det løste De Morgans loveksempel og vanlige spørsmål om De Morgans lov. La oss lære om De Morgans lov.

Innholdsfortegnelse

• Hva er De Morgans lov
• De Morgans lov i settteori
• Først De Morgans lov
• Andre De Morgans lov
• Bevis ved bruk av algebra av sett
• De Morgans lov i boolsk algebra
• Fra Morgans lovformel
• Løste eksempler på De Morgans lov
• Logiske anvendelser av De Morgans lov

Hva er De Morgans lov

De Morgans lov er loven som gir forholdet mellom forening, skjæringspunkt og komplementer i settteori. I boolsk algebra gir den relasjonen mellom AND, OR og komplementer til variabelen, og i logikk gir den relasjonen mellom AND, OR eller negasjon av setningen. Ved hjelp av De Morgans lov kan vi optimalisere ulike boolske kretser som involverer logiske porter som hjelper oss å utføre den samme operasjonen, men med svært få apparater.

De Morgans lov i settteori

De Morgans lov i settteori definerer forholdet mellom foreningen, skjæringspunktet og komplementene til settene, og er gitt for både komplement av forening og skjæringspunktet mellom to sett. I settteori er det to De Morgans lover som er:

• Først De Morgans lov
• Andre De Morgans lov

La oss forstå disse lovene i detalj som nedenfor:

historie i java

Først De Morgans lov

Først sier De Morgans lov det Komplementet av foreningen av to sett er lik skjæringspunktet mellom komplementene til hvert sett.

La A og B være to sett, så matematisk er først De Morgans lov gitt som:

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Hvor

• I representerer unionsoperasjonen mellom sett,
• ∩ representerer skjæringsoperasjon mellom sett, og
• ' representerer komplementoperasjon på et sett.

Det kalles også De Morgans lov om union.

Detaljer beviset for De Morgans lov

Bevis ved bruk av algebra av sett

Vi må bevise, (A ∪ B)' = A' ∩ B'

La X = (A ∪ B)' og Y = A' ∩ B'

La p være et hvilket som helst element av X, så p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)'

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A eller p ∉ B

⇒ p ∈ A’ og p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∩ B’

⇒ p ∈ Y

∴X ⊂ Y. . . (Jo)

Igjen, la q være et hvilket som helst element av Y, så q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’

⇒ q ∈ A’ og q ∈ B’

⇒ q ∉ A eller q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)’

⇒ q ∈ X

∴Y ⊂X. . . (ii)

Fra (i) og (ii) X = Y

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Les også - Bevis for De-Morgans lover i boolsk algebra

Bevis ved bruk av Venn-diagram

Venn Diagram for (A ∪ B)'

Venn-diagram for A' ∩ B'

Fra begge diagrammene kan vi tydelig si,

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Det er den første De Morgans lov.

Andre De Morgans lov

Second De Morgans lov sier det Komplementet av skjæringspunktet mellom to sett er lik foreningen av komplementene til hvert sett.

La A og B være to sett, så matematisk er først De Morgans lov gitt som:

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Hvor

• I representerer unionsoperasjonen mellom sett,
• ∩ representerer skjæringsoperasjon mellom sett, og
• ' representerer komplementoperasjon på et sett.

Det kalles også De Morgans lov om skjæringspunktet .

Bevis ved bruk av algebra av sett

Andre De Morgans lov: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

La X = (A ∩ B)' og Y = A' ∪ B'

La p være et hvilket som helst element av X, så p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)'

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A og p ∉ B

⇒ p ∈ A’ eller p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∪ B’

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

Igjen, la q være et hvilket som helst element av Y, så q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’

⇒ q ∈ A’ eller q ∈ B’

⇒ q ∉ A og q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)’

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

Fra (i) og (ii) X = Y

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Bevis ved bruk av Venn-diagram

Venn Diagram for (A ∩ B)'

Venn-diagram for A' ∪ B'

Fra begge diagrammene kan vi tydelig si

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Det er den andre De Morgans lov.

De Morgans lov i boolsk algebra

De Morgans lov boolsk algebra definerer forholdet mellom OR, AND og komplementene til variabler, og er gitt for både komplementet til AND og OR til to verdier. I boolsk algebra er det to De Morgans lover som er:

• Først De Morgans lov
• Andre De Morgans lov

La oss forstå disse lovene i detalj som nedenfor:

Første De Morgans lov i boolsk algebra

Først sier De Morgans lov det Komplementet til OR til to eller flere variabler er lik AND av komplementet til hver variabel.

La A og B være to variabler, så matematisk er først De Morgans lov gitt som:

(A + B)' = A'. B'

Hvor

• + representerer OR-operatoren mellom variabler,
• . representerer AND-operator mellom variabler, og
• ' representerer komplementoperasjon på variabel.

Først De Morgan's Law Logic Gates

I sammenheng med logiske porter og boolsk algebra, sier De Morgans lov at begge de logiske portkretsene, dvs. NOT-porten legges til utgangen til OR-porten, og NOT-porten legges til inngangen til OG-porten, er ekvivalente. Disse to logiske portkretsene er gitt som følger:

Første De Morgans lovsannhetstabell

Sannhetstabellen for den første De Morgans lov er gitt som følger:

Second De Morgans lov i boolsk algebra

Second De Morgans lov sier det Komplementet til AND av to eller flere variabler er lik ELLER til komplementet til hver variabel.

La A og B være to variabler, så er andre De Morgans lov matematisk gitt som:

(A . B)' = A' + B'

Hvor

• + representerer OR-operatoren mellom variabler,
• . representerer OG-operator mellom variabler, og
• ' representerer komplementoperasjon på variabel.

Second De Morgan's Law Logic Gates

I sammenheng med logiske porter og boolsk algebra, sier De Morgans lov at begge de logiske portkretsene, dvs. NOT-porten legges til utgangen til AND-porten, og NOT-porten legges til inngangen til OR-porten, er ekvivalente. Disse to logiske portkretsene er gitt som følger:

Andre De Morgans lovsannhetstabell

Sannhetstabellen for den andre De Morgans lov er gitt som følger:

Fra Morgans lovlogikk

I De Morgans lov for logikk er preposisjonene nedenfor tautologi:

∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Hvor,

• ∧ gjengir sammensetningen av statemetns,
• ∨ representerer disjunksjonen av uttalelser,
• ~ representerer negasjonen av uttalelse, og
• ≡ representerer ekvivalensen av utsagn.

Fra Morgans lovformel

La oss kompilere alle formlene for De Morgans lov, i den følgende listen.

For settteori:

• (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'

For boolsk algebra:

• (A + B)' = A'. B'
• (A . B)' = A' + B'

For logikk:

• ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Løste eksempler på De Morgans lov

Oppgave 1: Gitt at U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} og B = {2, 3, 9}. Bevis De Morgans andre lov.

Løsning:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} og B = {2, 3, 9}

For å bevise: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)' = {3, 7, 8, 9}

A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

unix toppkommando

A' = {3, 8, 9}

B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B' = {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Oppgave 2: Gitt at U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} og B = {4, 6, 9}. Bevis De Morgans første lov.

Løsning:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} og B = {4, 6, 9}

For å bevise: (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = {8}

A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A' = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B' = {1, 8}

A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A’ ∩ B’ = {8}

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Derfor bevist

Oppgave 3: Forenkle det boolske uttrykket: Y = [(A + B).C]’

Løsning:

Y = [(A + B).C]'

Anvendelse av De Morgans lov (A . B)' = A' + B'

Y = (A + B)' + C'

Anvender De Morgans lov (A + B)' = A'. B'

Y = A'. B' + C'

Oppgave 4: Forenkle det boolske uttrykket: X = [(A + B)' + C]'

Løsning:

X = [(A + B)' + C]'

Anvender De Morgans lov (A + B)' = A'. B'

X = [(A + B)']' . C'

X = (A + B). C'

Sjekk denne kilden for mer:

Vis eksempler på De Morgans lov

Fra Morgans lov praktiske eksempler

Eksempel 1: Pizzapålegg

Tenk deg at du er på en pizzafest, og du blir fortalt at du kan velge hvilket som helst pålegg bortsett fra både sopp og oliven sammen.

• Bruker De Morgans lov : Dette betyr at hvis du ikke vil ha både sopp og oliven (Ikke (Sopp og Oliven)), kan du enten ikke ha sopp (Ikke Mushrooms) eller ikke ha oliven (Ikke Oliven) på pizzaen din. Så du kan ha en pizza med bare sopp, bare oliven, eller ingen av delene!

Eksempel 2: Bibliotekbøker

Læreren din sier at du ikke kan ta med bøker om trollmenn eller drager inn i klasserommet.

• Bruker De Morgans lov : Dette betyr at hvis du ikke har lov til bøker om trollmenn eller drager (Ikke (trollmenn eller drager)), kan du ikke ta med bøker om trollmenn (ikke trollmenn) og du kan ikke ta med bøker om drager (ikke drager). Så, bøker om verdensrommet eller dyr er fortsatt i orden!

Eksempel 3: Spille ute

Moren din sier at du ikke kan leke ute hvis det regner og er kaldt på samme tid.

• Bruker De Morgans lov : Dette betyr at hvis du ikke går ut fordi det regner og er kaldt (Ikke (Regner og Kaldt)), vil du ikke gå ut hvis det bare regner (Regner ikke) eller bare kaldt (Ikke kaldt). Men hvis det er sol og varmt, er du klar!

Eksempel 4: Velge en film

Vennen din sier at de ikke vil se en film som er skummel eller kjedelig.

• Bruker De Morgans lov : Dette betyr at hvis vennen din ikke vil ha en film som er skummel eller kjedelig (Not (Scary or Boring)), vil de ikke ha en skummel film (Not Scary) og de vil ikke ha en kjedelig film (Not Boring) . Så en morsom eller spennende film ville være perfekt!

Logiske anvendelser av De Morgans lov

Fra Morgans lov – vanlige spørsmål

Oppgi De Morgans første loverklæring i settteori.

De Morgans første lov i settteori sier at komplementet til forening av to sett er lik skjæringspunktet mellom deres individuelle komplementer.

Oppgi De Morgans andre loverklæring i boolsk algebra.

De Morgans andre lov i boolsk algebra sier at komplementet til AND av to eller flere variabler er lik ELLER til komplementet til hver variabel.

Skriv formelen for De Morgans lov i settteori.

Formelen for De Morgans lov i settteori:

(i) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Skriv formelen for De Morgans lov i boolsk algebra.

Formelen for De Morgans lov i boolsk algebra:

(i) (A + B)' = A' . B'

(ii) (A . B)' = A' + B'

Skriv noen anvendelser av De Morgans lov.

Noen av anvendelsene av De Morgans lov er å minimere det komplekse boolske uttrykket og enkelt det.

Hvordan bevise De Morgans lov?

De Morgans lov i settteorien kan bevises med Venn-diagrammene og De Morgans lov i den boolske algebraen kan bevises med sannhetstabeller.