Determinant for 4×4-matrise: Determinant av en matrise er et grunnleggende konsept i lineær algebra, avgjørende for å utlede en enkelt skalarverdi fra matrisen. 4×4 er en kvadratisk matrise med 4 rader og 4 kolonner hvis determinant kan finnes av en formel som vi skal diskutere.
Denne artikkelen vil utforske definisjonen av en 4 × 4 matrise og veiledning gjennom trinn-for-trinn-prosessen for å beregne determinanten til 4 × 4 matrise. I tillegg utforsker den de praktiske anvendelsene av denne matematiske operasjonen.
Innholdsfortegnelse
- Hva er determinanten for en matrise?
- Determinant av 4×4 matrise
- Determinant av 4 × 4 matriseformel
- Determinant for 4×4 matriseeksempler
- Determinant for 4×4 Matrix Practice Spørsmål
Hva er determinanten for en matrise?
De determinant for en matrise er en skalarverdi som kan beregnes fra elementene i en kvadratisk matrise . Den gir viktig informasjon om matrisen, for eksempel om den er inverterbar og skaleringsfaktoren til lineære transformasjoner representert av matrisen.
Ulike metoder, som f.eks kofaktor utvidelse eller radreduksjon, kan brukes for å finne determinanten til en matrise, avhengig av størrelsen og strukturen til matrisen. Når den er beregnet, er determinanten angitt med det-symbolet eller vertikale stolper som omslutter matrisen.
Determinant av 4×4 matrise
En 4×4-matrise er en rektangulær rekke tall arrangert i fire rader og fire kolonner. Hvert element i matrisen identifiseres ved sin rad- og kolonneposisjon. Den generelle formen for en 4×4-matrise ser slik ut:
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} inneholder delstreng java
Hvor enijrepresenterer elementet som ligger i ithrad og jthkolonne i matrisen.
4×4-matriser er ofte påtruffet i forskjellige felt som datagrafikk, fysikk, ingeniørfag og matematikk. De brukes til å representere transformasjoner, løse systemer med lineære ligninger og utføre operasjoner i lineær algebra.
Egenskaper til 4×4 Matrix
Her er noen egenskaper til en 4×4-matrise forklart i forenklede termer:
- Kvadratisk matrise: En 4×4-matrise har like mange rader og kolonner, noe som gjør den til en kvadratisk matrise.
- Avgjørende faktor: Determinanten til en 4×4-matrise kan beregnes ved hjelp av metoder som kofaktorutvidelse eller radreduksjon. Den gir informasjon om matrisens inverterbarhet og skaleringsfaktor for lineære transformasjoner.
- Omvendt: En 4×4 matrise er inverterbar hvis determinanten er ikke-null. Den inverse av en 4×4 matrise tillater å løse systemer med lineære ligninger og angre transformasjoner representert av matrisen.
- Transponer: Transponeringen av en 4×4-matrise oppnås ved å bytte ut rader og kolonner. Det kan være nyttig i visse beregninger og transformasjoner.
- Egenverdier og egenvektorer: 4×4-matriser kan analyseres for å finne deres egenverdier og egenvektorer , som representerer egenskapene til matrisen under lineære transformasjoner.
- Symmetri: Avhengig av den spesifikke matrisen, kan den ha symmetriegenskaper som å være symmetrisk, skjevsymmetrisk eller ingen av delene.
- Matriseoperasjoner: Ulike operasjoner som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og skalar multiplikasjon kan utføres på 4×4 matriser etter spesifikke regler og egenskaper.
Les i detalj: Egenskaper til determinanter
Determinant av 4 × 4 matriseformel
Determinant for en hvilken som helst 4 × 4 matrise, dvs.
it(A) = a elleve · det (A elleve ) – a 12 · det (A 12 ) + a 1. 3 · det (A 1. 3 ) – a 14 · det (A 14 )
Hvor enijbetegner undermatrisen ved å slette ithrad og jthkolonne.
Hvordan finner du determinanten til en 4 × 4 matrise?
For å finne determinanten til en 4×4-matrise, kan du bruke ulike metoder som utvidelse av mindreårige, radreduksjon eller bruk av spesifikke egenskaper.
En vanlig metode er å bruke utvidelse av mindreårige, der du utvider langs en rad eller kolonne ved å multiplisere hvert element med kofaktoren og summere resultatene. Denne prosessen fortsetter rekursivt til du kommer til en 2×2 submatrise, som du direkte kan beregne determinanten for. For å forstå hvordan du finner determinanten til en 4×4-matrise, bør du vurdere et eksempel.
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
Trinn 1: Utvid langs den første raden:
it(A) = 2 · it(A elleve ) – 1 · it(A 12 ) + 3 · it(A 1. 3 ) – 4 · it(A 14 )
Hvor enijbetegner undermatrisen oppnådd ved å slette i-te rad og j-te kolonne.
Trinn 2: Beregn determinanten for hver 3×3 submatrise.
For enelleve
⇒ |Aelleve| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]
⇒ |Aelleve| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |Aelleve| = 10 – 2(-13) + 4
⇒ |Aelleve| = 10 + 26 + 4 = 40
For en12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16+ 6= 10
For en1. 3
⇒ |A1. 3| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A1. 3| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A1. 3| = 0 – (-1)(8) + 2(11)
⇒ |A1. 3| = 8 + 22 = 30
For en14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
Trinn 3: Bytt ut determinantene til 3×3-submatrisene i ekspansjonsformelen:
(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28
Trinn 4: Beregn den endelige determinanten:
it(A) = 80 – 10 + 90 – 112
it(A) = 48
Så determinanten for den gitte 4×4-matrisen er 48.
Sjekk også
- Determinant av 2×2 matrise
- Determinant av 3×3 matrise
Determinant for 4×4 matriseeksempler
Eksempel 1: A =
Løsning:
c# ordbok
Først Utvid langs den første raden:
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) Beregn nå determinanten for hver 3×3 submatrise.
For en elleve ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
= -25
For en 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2) -(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
= -14 – 0 – 21
= -35
For en 1. 3 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0) ) )-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
For en 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
Erstatt nå determinantene til 3×3-submatrisene i ekspansjonsformelen:
det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
Så determinanten for matrise (A) er 24.
Eksempel 2: Regn ut determinanten til matrisen
Løsning:
For å finne determinanten til matrisen ( A ), bruker vi metoden utvidelse av mindreårige langs den første raden:
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} La oss nå beregne determinantene til 3×3-undermatrisene:
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
Bytt nå disse determinantene tilbake i utvidelsesformelen:
it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120
Så determinanten for matrisen ( A ) er det(A) = -120.
Eksempel 3: Finn determinanten til matrisen B =
Løsning:
For å finne determinanten til matrisen ( B ), bruker vi metoden utvidelse av mindreårige langs den første raden:
js onclick
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} La oss nå beregne determinantene til 3×3-undermatrisene:
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
Bytt nå disse determinantene tilbake i utvidelsesformelen:
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ noe
= 8 + 9 – 36 + 0
= -19
Så determinanten til matrisen ( B ) er det(B) = -19
Determinant for 4×4 Matrix Practice Spørsmål
Q1: Regn ut determinanten til følgende 4×4-matrise:
Q2: Finn determinanten til matrisen:
Q3: Regn ut determinanten til følgende 4×4-matrise:
Q4: Bestem determinanten til matrisen:
Q5: Finn determinanten til matrisen:
Vanlige spørsmål om Determinant of 4×4 Matrix
Hvordan finner du determinanten til en 4×4-matrise?
For å finne determinanten til en 4×4-matrise, kan du bruke ulike metoder som kofaktorutvidelse eller radreduksjonsteknikker.
Hva er determinanten for en 4×4 identitetsmatrise?
Determinanten for en 4×4 identitetsmatrise er 1, da det er et spesialtilfelle der alle diagonale elementer er 1, og resten er 0.
Hvordan finne determinanten til en 4×4-matrise ved å bruke kofaktorutvidelse?
Å bestemme determinanten til en 4×4-matrise ved bruk av kofaktorutvidelse innebærer å bryte den ned i mindre 3×3-matriser, bruke kofaktorformelen og summere produktene.
Hva er formelen til determinanten?
Formelen for determinanten innebærer å summere produktene til elementene og deres kofaktorer i hver rad eller kolonne, med tanke på deres tegn.
Kan en determinant være negativ?
Ja, determinanter kan være negative, positive eller null, avhengig av den spesifikke matrisen og dens egenskaper.
Kan en 4×4-matrise ha en invers?
En 4×4-matrise kan ha en invers hvis determinanten ikke er null; ellers er den entall og mangler en invers.
Hvordan viser du at en 4×4-matrise er inverterbar?
For å vise at en 4×4-matrise er inverterbar, bekrefter du at dens determinant ikke er null, noe som indikerer eksistensen av en invers, og bruk tilleggskriterier som radreduksjon for å bekrefte inverterbarhet.