EN Hyperbel er en jevn kurve i et plan med to grener som speiler hverandre, som ligner to uendelige buer. Det er et kjeglesnitt dannet ved å skjære en rett sirkulær kjegle med et plan i en vinkel slik at begge halvdelene av kjeglen krysses.

La oss lære om hyperbel i detalj, inkludert ligning, formler, egenskaper, grafer og derivasjon.

Hyperbel

Innholdsfortegnelse

• Hva er hyperbel?
• Hyperbel definisjon
• Hyperbelligning
• Deler av Hyperbola
• Hyperbel eksentrisitet
• Standard ligning av hyperbel
• Høyre side av hyperbel
• Utledning av hyperbelligning
• Hyperbelformel
• Graf over hyperbel
• Konjugert hyperbel
• Egenskaper til hyperbel
• Hjelpesirkler av hyperbel
• Rektangulær hyperbel
• Parametrisk representasjon av hyperbel
• Hyperbel klasse 11
• Løste eksempler på hyperbel
• Øv problemer på hyperbel

Hva er hyperbel?

En hyperbel er stedet for punkter hvis forskjell i avstandene fra to foci er en fast verdi. Denne forskjellen oppnås ved å trekke avstanden til det nærmere fokuset fra avstanden til det fjerneste fokuset.

Hvis P (x, y) er et punkt på hyperbelen og F, F’ er to foci, så er stedet for hyperbelen

PF – PF' = 2a

Merk: Se diagram lagt til i avledning for bilde.

Hyperbel definisjon

I analytisk geometri er en hyperbel en type kjeglesnitt opprettet når et plan skjærer gjennom begge halvdelene av en dobbel rett sirkulær kjegle i en vinkel. Dette skjæringspunktet resulterer i to separate, ubegrensede kurver som er speilbilder av hverandre, og danner en hyperbel.

Hyperbelligning

Ligningen til en hyperbel i sin standardform avhenger av dens orientering og om den er sentrert ved opprinnelsen eller et annet punkt. Her er de to primære formene for hyperbler sentrert ved origo, den ene åpner horisontalt og den andre åpner vertikalt:

x ² /en ² - og ² /b ² = 1

Denne ligningen representerer en hyperbel som åpner seg til venstre og høyre. Punktene (±a,0) er toppunktene til hyperbelen, plassert på x-aksen.

Deler av Hyperbola

En hyperbel er et kjeglesnitt som utvikles når et plan kutter en dobbel rett sirkulær kjegle i en vinkel slik at begge halvdelene av kjeglen er sammenføyd. Det kan beskrives ved hjelp av begreper som foci, directrix, latus rectum og eksentrisitet.

Hyperbel eksentrisitet

Eksentrisiteten til en hyperbel er forholdet mellom avstanden til et punkt fra fokuset og dets vinkelrette avstand fra retningslinjen. Det er merket med bokstaven ' Det er '.

• Eksentrisiteten til en hyperbel er alltid større enn 1, dvs. e>1.
• Vi kan enkelt finne eksentrisiteten til hyperbelen med formelen:

e = √[1 + (b ² /en ² )]

hvor,

• en er Lengden på semi-hovedaksen
• b er Lengden på semi-molaksen

Les mer: Eksentrisitet

Standard ligning av hyperbel

Standardligningene til en hyperbel er:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

ELLER

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

En hyperbel har to standardligninger. Disse ligningene til en hyperbel er basert på dens tverrakse og konjugerte akse.

xvideoservicethief ubuntu 14.04 nedlasting

• Standardligningen for hyperbelen er [(x²/en²) - (og²/b²)] = 1, hvor X-aksen er tverraksen og Y-aksen er konjugert akse.
• Videre er en annen standardligning for hyperbelen [(y²/en²)- (x²/b²)] = 1, hvor Y-aksen er den tverrgående aksen og X-aksen er den konjugerte aksen.
• Standard ligning av hyperbelen med sentrum (h, k) og X-aksen som tverraksen og Y-aksen som konjugert akse,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Videre er en annen standardligning av hyperbelen med sentrum (h, k) og Y-aksen som tverraksen og X-aksen som konjugert akse.

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Høyre side av hyperbel

Latus rectum av en hyperbel er en linje som går gjennom en hvilken som helst av fociene til en hyperbel og vinkelrett på den tverrgående aksen til hyperbelen. Endepunktene til en latus rektum ligger på hyperbelen, og lengden er 2b²/en.

Utledning av hyperbelligning

La oss vurdere et punkt P på hyperbelen hvis koordinater er (x, y). Fra definisjonen av hyperbelen vet vi at forskjellen mellom avstanden til punktet P fra de to fokusene F og F’ er 2a, dvs. PF’-PF = 2a.

La koordinatene til brennpunktene være F (c, o) og F '(-c, 0).

Nå, ved å bruke koordinatavstandsformelen, kan vi finne avstanden til punktet P (x, y) til brennpunktene F (c, 0) og F '(-c, 0).

√[(x + c)²+ (og – 0)²] – √[(x – c)²+ (og – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ og²] = 2a + √[(x – c)²+ og²]

Nå, ved å kvadrere begge sider, får vi

(x + c)²+ og²= 4a²+ (x – c)²+ og²+ 4a√[(x – c)²+ og²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ og²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ og²]

Nå, ved å kvadre på begge sider og forenkle, får vi

[(x²/en²) - (og²/(c²– a²))] = 1

Vi har, c²= a²+ b², så ved å erstatte dette i ligningen ovenfor, får vi

x²/en²- og²/b²= 1

Derfor er standardligningen til hyperbelen utledet.

På samme måte kan vi utlede standardligningene til den andre hyperbelen, dvs. [y²/en²– x²/b²] = 1

Hyperbelformel

Følgende hyperbelformler er mye brukt for å finne de forskjellige parameterne til hyperbelen som inkluderer ligningen av hyperbel, hoved- og mindreaksen, eksentrisitet, asymptoter, toppunkt, foci og semi-latus rektum.

Hvor,

• (x₀, og₀) er midtpunktet
• en er semi-major-aksen
• b er semi-mollaksen.

Graf over hyperbel

Hyperbel er en kurve som har to ubegrensede kurver som er speilbilder av hverandre. Grafen til hyperbelen viser den kurven i 2-D-planet. Vi kan observere de forskjellige delene av en hyperbel i hyperbelgrafene for standardligninger gitt nedenfor:

Ligningen av hyperbelen	Graf over hyperbel	Parametre for hyperbel
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinater til sentrum: (0, 0) Koordinater til toppunktet: (a, 0) og (-a, 0) Koordinater for brennpunkter: (c, 0) og (-c, 0) Lengden på tverraksen = 2a Lengden på den konjugerte aksen = 2b Lengden på latus rectum = 2b2/en Likninger av asymptoter: y = (b/a) x og y = -(b/a) x Eksentrisitet (e) = √[1 + (b2/en2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinater til sentrum: (0, 0) Koordinater til toppunktet: (0, a) og (0, -a) Koordinater for fokus: (0, c) og (0, -c) Lengden på tverraksen = 2b Lengden på den konjugerte aksen = 2a Lengden på latus rectum = 2b2/en Likninger av asymptoter: y = (a/b) x og y = -(a/b) x Eksentrisitet (e) = √[1 + (b2/en2)]

Konjugert hyperbel

Konjugert hyperbel er 2 hyperbler slik at de tverrgående og konjugerte aksene til en hyperbel er henholdsvis konjugat og tverrakse til den andre hyperbelen.

Konjugert hyperbel av (x²/ a²) - (og²/b²) = 1 er,

(x ² / a ² ) - (og ² / b ² ) = 1

Hvor,

• en er semi-hovedakse
• b er semi-molakse
• Det er er eksentrisiteten til parabelen
• en ² = b ² (Det er ² − 1)

Egenskaper til hyperbel

• Hvis eksentrisitetene til hyperbelen og dens konjugat er f.eks₁og e₂deretter,

(1 og ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Foci av en hyperbel og dens konjugat er konsykliske og danner toppunktene til et kvadrat.
• Hyperbler er like hvis de har samme latus rektum.

Hjelpesirkler av hyperbel

Hjelpesirkel er en sirkel som er tegnet med sentrum C og diameter som en tverrakse av hyperbelen. Hjelpesirkelen til hyperbelligningen er,

x ² + og ² = a ²

Rektangulær hyperbel

En hyperbel med en tverrakse på 2a enheter og en konjugert akse på 2b enheter av lik lengde kalles den rektangulære hyperbelen . dvs. i rektangulær hyperbel,

2a = 2b

⇒ a = b

Ligningen for en rektangulær hyperbel er gitt som følger:

x ² - og ² = a ²

Merk: Eksentrisiteten til rektangulær hyperbel er √2.

Parametrisk representasjon av hyperbel

Parametrisk representasjon av hjelpesirkler til hyperbelen er:

x = a sek θ, y = b tan θ

Folk leser også

• Kjeglesnitt
• Parabel
• Sirkel
• Ellipse

Hyperbel klasse 11

I klasse 11 matematikk utgjør studiet av hyperbler en del av kjeglesnittene i analytisk geometri. Å forstå hyperbler på dette nivået innebærer å utforske deres definisjon, standardligninger, egenskaper og ulike elementer knyttet til dem.

Klasse 11-pensum inkluderer vanligvis å utlede disse ligningene og egenskapene, skissere hyperbler basert på gitte ligninger og løse problemer knyttet til hyperbelens elementer og posisjoner. Mestring av disse konseptene gir et sterkt grunnlag i analytisk geometri , forbereder studentene til videre studier i matematikk og relaterte felt.

Sammendrag – Hyperbel

En hyperbel er en type kjeglesnitt som dannes når et plan skjærer en kjegle i en vinkel slik at to separate kurver produseres. Karakterisert av speilsymmetrien består en hyperbel av to frakoblede grener, som hver bøyer seg bort fra hverandre. Det kan defineres matematisk i et koordinatplan ved hjelp av en standardligning, som varierer basert på orienteringen - enten horisontal eller vertikal - og om senteret er ved opprinnelsen eller et annet punkt.

Standardskjemaene er x ² /en ² - og ² /b ² = 1 for en hyperbel som åpner horisontalt og og ² /en ² – x ² /b ² = 1 for én åpning vertikalt, med variasjoner for å imøtekomme et senter flyttet til (h,k). Nøkkeltrekk ved hyperbler inkluderer toppunkter, de nærmeste punktene på hver gren til midten; foci, punkter fra hvilke avstander til et hvilket som helst punkt på hyperbelen har en konstant forskjell; og asymptoter, linjer som grenene nærmer seg, men aldri berører.

Egenskapene til hyperbler gjør dem betydelige på forskjellige felt, inkludert astronomi, fysikk og ingeniørfag, for modellering og analyse av hyperbolske baner og atferd.

Løste eksempler på hyperbel

Spørsmål 1: Bestem eksentrisiteten til hyperbelen x ² /64 – og ² /36 = 1.

Løsning:

Ligningen for hyperbel er x²/64 – og²/36 = 0

Ved å sammenligne gitt likning med standard likning av hyperbelen x²/en²- og²/b²= 1, får vi

en²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Vi har,

Eksentrisiteten til en hyperbel (e) = √(1 + b²/en²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Derfor er eksentrisiteten til gitt hyperbel 1,25.

Spørsmål 2: Hvis ligningen til hyperbelen er [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, finn lengdene på hovedaksen, småaksen og latus rektum.

Løsning:

Ligningen for hyperbel er [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Ved å sammenligne gitt ligning med standardligningen til hyperbelen, (x – h)²/en²– (og – k)²/b²= 1

npm tøm cache

Her er x = 4 hovedaksen og y = 3 er underaksen.

en²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Lengde på hovedaksen = 2a = 2 × (5) = 10 enheter

Lengde på mindre akse = 2b = 2 × (3) = 6 enheter

Lengde på latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 enheter

Spørsmål 3: Finn toppunktet, asymptoten, hovedaksen, mindreaksen og retningslinjen hvis hyperbelligningen er [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Løsning:

Ligningen for hyperbel er [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Ved å sammenligne gitt ligning med standard ligning for hyperbel, (x – h)²/en²– (og – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Toppunkt for en hyperbel: (h + a, k) og (h – a, k) = (13, 2) og (-1, 2)

Hovedaksen til hyperbelen er x = h x = 6

Den lille aksen til hyperbelen er y = k y = 2

Likninger av asymptoter av hyperbel er

y = k − (b/a)x + (b/a)h og y = k+ (b/a)x – (b/a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 og y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 og y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x og y = -1,43 + 0,57x

Ligningen for retningslinjen til en hyperbel er x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Spørsmål 4: Finn eksentrisiteten til hyperbelen hvis latus rektum er halvparten av dens konjugerte akse.

Løsning:

Lengden på latus rectum er halvparten av dens konjugerte akse

La ligningen for hyperbel være [(x²/ a²) - (og²/ b²)] = 1

Konjugert akse = 2b

Lengde på Latus rectum = (2b²/ a)

Fra gitte data, (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Vi har,

Eksentrisiteten til hyperbel (e) = √[1 + (b²/en²)]

Bytt ut a = 2b i formelen for eksentrisitet

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Derfor er nødvendig eksentrisitet √5/2.

Øv problemer på hyperbel

P1. Finn standardformlikningen til hyperbelen med toppunkter ved (-3, 2) og (1, 2), og en brennvidde på 5.

P2. Bestem senteret, toppunktene og foci av hyperbelen med ligningen 9x ² – 4 år ² = 36.

P3. Gitt hyperbelen med ligningen (x – 2) ² /16 – (og + 1) ² /9 = 1, finn koordinatene til sentrum, toppunkter og foci.

P4. Skriv ligningen til hyperbelen med en horisontal hovedakse, sentrert ved (0, 0), et toppunkt ved (5, 0) og et fokus ved (3, 0).

Hyperbel – vanlige spørsmål

Hva er hyperbel i matematikk?

Lokuset til et punkt i et plan slik at forholdet mellom dets avstand fra et fast punkt til det fra en fast linje er en konstant større enn 1, kalles hyperbel.

Hva er standardligningen for hyperbel?

Standard ligning av hyperbel er

(x ² /en ² ) - (og ² /b ² ) = 1

Hva er eksentrisiteten til hyperbel?

Eksentrisiteten til en hyperbel er forholdet mellom avstanden til et punkt fra fokuset til dets vinkelrette avstand fra retningslinjen. For Hyperbola er eksentrisiteten alltid større enn 1.

Hva er formelen for eksentrisitet for hyperbel?

Formel for eksentrisitet av hyperbel er e = √(1 + (b ² /en ² ))

Hva er Foci av hyperbel?

En hyperbel har to foci. For hyperbelen (x²/en²) - (og²/b²) = 1, fokusene er gitt av (ae, 0) og (-ae, 0)

Hva er Transversal Axis of Hyperbela?

For hyperbel (x²/en²) - (og²/b²) = 1, tverraksen er langs x-aksen. Lengden er gitt av 2a. Linje som går gjennom sentrum og foci av hyperbel kalles transversal akse av en hyperbel.

Hva er asymptoter av hyperbel?

Linjer parallelle med hyperbel som møter hyperbel i det uendelige kalles asymptotene til hyperbel.

Hvor mange asymptoter har hyperbel?

En hyperbel har 2 asymptoter. Asymptoter er en linje som tangerer hyperbelen som møter hyperbelen i det uendelige.

Hva brukes Hyperbola til?

Hyperbler finner applikasjoner innen forskjellige felt som astronomi, fysikk, ingeniørvitenskap og økonomi. De brukes blant annet i satellittbaner, radiooverføringsmønstre, artillerimålretting, finansiell modellering og himmelmekanikk.

Hva er forskjellen mellom parabel og hyperbel i standardform?

I standardform involverer ligningen til en parabel termer hevet til potensen 1 og 2, mens ligningen til en hyperbel involverer termer hevet til potensen 2 og -2. Dessuten er parablen preget av et enkelt fokuspunkt, mens hyperbelen har to.

Hva er grunnleggende ligning av hyperbelgraf?

Grunnleggende ligning for en hyperbelgraf er:

(x – h)²/ a²– (og – k)²/ b²= 1

Eller

(og – k)²/ b²– (x -h)²/ a²= 1

Hva er typer hyperbel?

Hyperbler kan klassifiseres i tre typer basert på deres orientering: horisontale, vertikale og skrå hyperbler.

Hvordan identifiserer du en hyperbelligning?

En hyperbelligning involverer vanligvis termer med begge x og og variabler, med en forskjell mellom kvadratene på x og og koeffisienter, og koeffisientene til disse leddene er henholdsvis positive og negative.

Hva er formelen for B i hyperbel?

I standardformen av en hyperbelligning, B representerer lengden på den konjugerte aksen, og formelen er B = 2 b , hvor b er avstanden fra sentrum til toppunktene langs den konjugerte aksen.

Hvordan tegne en hyperbel?

For å tegne en hyperbel starter du vanligvis med å plotte midtpunktet, og deretter markere toppunktene, fociene, asymptotene og andre nøkkelpunkter basert på den gitte ligningen eller egenskapene. Til slutt, skisser hyperbelens kurver ved å bruke disse punktene som guider.