Lokale Maxima og Minima referer til punktene til funksjonene, som definerer det høyeste og laveste området for denne funksjonen. Den deriverte av funksjonen kan brukes til å beregne Local Maxima og Local Minima. Local Maxima og Minima kan bli funnet ved bruk av både den første deriverte testen og den andre deriverte testen.

I denne artikkelen vil vi diskutere introduksjonen, definisjonen og viktige terminologien til Local Maxima og Minima og deres betydning. Vi vil også forstå de forskjellige metodene for å beregne Local Maxima og Minima i matematikk og kalkulus . Vi vil også løse ulike eksempler og gi praksisspørsmål for en bedre forståelse av konseptet til denne artikkelen.

Innholdsfortegnelse

• Hva er Local Maxima og Local Minima?
• Definisjon av Local Maxima og Local Minima
• Vilkår knyttet til Local Maxima og Local Minima
• Hvordan finne lokale Maxima og Minima?
• Eksempler på Local Maxima og Local Minima

Hva er Local Maxima og Local Minima?

Lokale Maxima og Minima er referert til som maksimums- og minimumsverdier i et spesifikt intervall. Et lokalt maksimum oppstår når verdiene til en funksjon nær et spesifikt punkt er alltid lavere enn verdiene til funksjonen på samme punkt. Når det gjelder Local Minima, er verdiene til en funksjon nær et spesifikt punkt alltid større enn verdiene til funksjonen på samme punkt.

På en enkel måte kalles et punkt et lokalt maksimum når funksjonen når sin høyeste verdi i et spesifikt intervall, og et punkt kalles et lokalt minimum når funksjonen når sin laveste verdi i et spesifikt intervall.

For eksempel, hvis du går til et kupert område og står på toppen av en ås, kalles det punktet et Local Maxima-punkt fordi du er på det høyeste punktet i omgivelsene dine. På samme måte, hvis du står på det laveste punktet i en elv eller et hav, kalles dette punktet et Local Minima-punkt fordi du er på det laveste punktet i omgivelsene dine.

Definisjon av Local Maxima og Local Minima

Local Maxima og Minima er startverdiene for en hvilken som helst funksjon for å få en ide om dens grenser, for eksempel de høyeste og laveste utgangsverdiene. Local Minima og Local Maxima kalles også Local Extrema.

Lokal Maxima

Et Local Maxima-punkt er et punkt på enhver funksjon der funksjonen oppnår sin maksimale verdi innenfor et visst intervall. Et punkt (x = a) til en funksjon f (a) kalles et lokalt maksimum hvis verdien av f(a) er større enn eller lik alle verdiene til f(x).

numpy unik

Matematisk, f (a) ≥ f (a -h) og f (a) ≥ f (a + h) hvor h> 0, da kalles a det lokale maksimumspunktet.

Lokalt Minima

Et lokalt minimapunkt er et punkt på enhver funksjon der funksjonen oppnår sin minimumsverdi innenfor et visst intervall. Et punkt (x = a) til en funksjon f (a) kalles et lokalt minimum hvis verdien av f(a) er mindre enn eller lik alle verdiene til f(x).

Matematisk, f (a) ≤ f (a -h) og f (a) ≤ f (a + h) hvor h> 0, da kalles a det lokale minimumspunktet.

Vilkår knyttet til Local Maxima og Local Minima

Viktig terminologi relatert til Local Maxima og Minima er diskutert nedenfor:

Maksimal verdi

Hvis en funksjon gir maksimal utgangsverdi for inngangsverdien til x. Denne verdien av x kalles maksimumsverdi. Hvis det er definert innenfor et spesifikt område. Da kalles det punktet Lokal Maxima .

Absolutt maksimum

Hvis en funksjon gir maksimal utgangsverdi for inngangsverdien til x langs hele funksjonsområdet. Den verdien av x kalles Absolutt Maksimum.

Minimumsverdi

Hvis en funksjon gir minimum utgangsverdi for inngangsverdien til x. Denne verdien av x kalles minimumsverdi. Hvis det er definert innenfor et spesifikt område. Da kalles det punktet Lokalt Minima .

Absolutt minimum

Hvis en funksjon gir minimum utgangsverdi for inngangsverdien til x langs hele funksjonsområdet. Den verdien av x kalles Absolutt Minimum.

Point of Inversion

Hvis verdien av x innenfor området for gitt funksjon ikke viser den høyeste og laveste utgangen, kalles det Point of Inversion.

Lære mer, Absolutt Maxima og Minima

Hvordan finne lokale Maxima og Minima?

Lokalt maksimum og minimum bestemmes kun for et spesifikt område, det er ikke maksimum og minimum for hele funksjonen og gjelder ikke for hele området til funksjonen.

Det er følgende tilnærminger for å beregne lokale maksimum og minima. Disse er:

• I første trinn tar vi den deriverte av funksjon.

• I andre trinn setter vi den deriverte lik null og beregner de kritiske punktene for c.

• I tredje trinn bruker vi Første derivat og Andre derivattest for å bestemme lokale maksimum og lokale minima.

Hva er First Derivative Test?

For det første tar vi den første deriverte av en funksjon som gir helningen til funksjonen. Når vi nærmer oss et maksimumspunkt, øker helningen til funksjonen, blir så null ved maksimumspunktet, og avtar etter det når vi går bort fra den.

Tilsvarende i minimumspunktet, når vi kommer nærmere et minimumspunkt, avtar kurvens helning, blir så null ved minimumspunktet, og øker deretter når vi går bort fra det punktet.

La oss ta en funksjon f(x), som er kontinuerlig i det kritiske punktet c, i et åpent intervall I, og f'(c) = 0, betyr helning i det kritiske punktet c = 0.

For å sjekke naturen til f'(x) rundt det kritiske punktet c, har vi følgende betingelser for å bestemme verdien av lokalt maksimum og minimum fra den første deriverte testen. Disse forholdene er:

• Hvis f ′(x) endrer fortegn fra positivt til negativt når x øker via c, så viser f(c) den høyeste verdien av denne funksjonen i det gitte området. Derfor er punkt c et Local Maxima-punkt, hvis den første deriverte f '(x)> 0 på et hvilket som helst punkt nok nær til venstre for c og f '(x) <0 på et hvilket som helst punkt nok nær høyre for c.

• Hvis f ′(x) endrer fortegn fra negativ til positiv når x øker via c, så viser f(c) den laveste verdien av den funksjonen i det gitte området. Derfor er punkt c et Local Minima-punkt, hvis den første deriverte f '(x) 0 på et hvilket som helst punkt nok nær til høyre for c.

• Hvis f'(x) ikke endrer tegnet signifikant med x økende via c, så viser ikke punktet c funksjonens høyeste (Local Maxima) og laveste (Local Minima) verdi. I slike tilfeller er punkt c kalt bøyningspunkt.

Les mer om Første derivattest .

Hva er Second Derivative Test?

Den andre deriverte testen brukes til å finne ut verdien av absolutt maksimum og absolutt minimum for enhver funksjon innenfor et spesifikt intervall. La oss ta en funksjon f(x), som er kontinuerlig i det kritiske punktet c, i et åpent intervall I, og f'(c) = 0, betyr helning i det kritiske punktet c = 0. Her tar vi den andrederiverte f (x) av funksjonen f(x) som gir helningen til funksjonen.

For å sjekke arten av f'(x), har vi følgende betingelser for å bestemme verdien av lokalt maksimum og minimum fra den andre deriverte testen. Disse forholdene er:

• Punkt c er et lokalt maksimumspunkt, hvis den første deriverte f'(c) = 0, og den andre deriverte f(c) <0. Punktet ved x= c vil være den lokale maksimumsverdien og f(c) vil være den lokale maksimumsverdien til f(x).

• Punkt c er et lokalt minimumspunkt, hvis den første deriverte f'(c) = 0, og f(c) den andre deriverte> 0. Punktet ved x= c vil være det lokale minimum og f(c) vil være Lokal minimumsverdi på f(x).

• Testen mislykkes, hvis den første deriverte f'(c) = 0, og den andre deriverte f(c) = 0, viser ikke punktet c den høyeste (Local Maxima) og laveste (Local Minima) verdi av funksjonen , I slike tilfeller kalles punkt c bøyningspunkt og punktet x = c kalles Bøyepunkt.

Sjekk også

• Anvendelse av derivater
• Relativ Maxima og Minima
• Formel for differensiering og integrering

Eksempler på Local Maxima og Local Minima

Eksempel 1: Analyser de lokale maksima og lokale minima for funksjonen f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 ved å bruke den første deriverte testen.

Løsning:

Den gitte funksjonen er f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Førstederiverte av funksjon er f'(x) = 6x²– 6x – 12, vil den bruke for å finne ut de kritiske punktene.

For å finne det kritiske punktet, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Derfor er kritiske punkter x = -1 og x = 2.

Analyser det første deriverte umiddelbare punktet til det kritiske punktet x = -1. Poengene er {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 og f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Tegn på derivert er positivt mot venstre for x = -1, og er negativt mot høyre. Derfor indikerer det at x = -1 er den lokale maksimumsverdien.

La oss nå analysere det første deriverte umiddelbare punktet til det kritiske punktet x = 2. Punktene er {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 og f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

hva er kart java

Tegn på derivert er negativt mot venstre for x = 2, og er positivt mot høyre. Derfor indikerer det at x = 2 er det lokale minimaet.

Derfor er den lokale maksima -1, og den lokale minimum er 2.

Eksempel 2: Analyser de lokale maksima og lokale minima for funksjonen f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 ved å bruke den andre deriverte testen.

Løsning:

Den gitte funksjonen er f(x) = -x³+6x²-12x +10

Førstederiverte av funksjon er f'(x) = -x³+6x²-12x +10, vil den bruke for å finne ut de kritiske punktene.

For å finne det kritiske punktet, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Derfor er de kritiske punktene x = 1 og x = 3

Ta nå en andrederiverte av funksjon,

f(x) = 6x – 12

Vurder f(x) ved kritisk punkt x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, og dermed tilsvarer x = 1 Local Maxima.

Vurder f(x) ved kritisk punkt x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, og derfor tilsvarer x = 3 Local Minima.

Nå vil vi beregne funksjonsverdiene på de kritiske punktene:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, Derfor er det lokale maksimum ved (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, Derfor er det lokale maksimum ved (3, 1)

Øvingsspørsmål om lokale minima og maksimum

Q1. Finn Local Maxima og Local Minima for funksjonen f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 ved å bruke den andre deriverte testen.

Q2. Finn og analyser de lokale maksima og lokale minima for funksjonen f(x) = – x²+4x -5 ved å bruke den andre deriverte testen.

Q3. Finn Local Maxima og Local Minima for funksjonen f(x) = x²-4x +5 ved å bruke den første deriverte testen.

java sammenligning

Q4. Finn og analyser de lokale maksimale og lokale minima for funksjonen f(x) = 3x²-12x +5 ved å bruke den første deriverte testen.

Q5. Finn og analyser de lokale maksima og lokale minima for funksjonen f(x) = x³– 6x²+9x + 15 ved å bruke den første deriverte testen.

Q6. Finn og analyser de lokale maksima og lokale minima for funksjonen f(x) = 2x³-9x²+12x +5 ved å bruke den andre deriverte testen.

Local Maxima og Local Minima – Vanlige spørsmål

Hva er Local Maxima?

Et punkt kalles en Local Maxima når funksjonen når sin høyeste verdi i et spesifikt intervall.

Hvordan finner du det lokale maksimum?

Ved å differensiere funksjonen og finne den kritiske verdien der helningen er null, kan vi finne det lokale maksimum.

Hva er Local Minima?

Et punkt kalles et Local Minima når funksjonen når sin laveste verdi i et spesifikt intervall.

Hvilke metoder kan du bruke for å beregne det lokale maksimale og lokale minimum?

Første derivattest og andre derivattest.

Hva er forskjellen mellom første derivattest og andre derivattest?

Første deriverte test er den omtrentlige metoden for å beregne verdien av lLcal maksima og lokale minima og andre deriverte test er den systematiske og nøyaktige metoden for å beregne verdien av lokale maksima og lokale minima.

Hva er meningen med Point of Inversion?

Hvis verdien av et punkt innenfor området for gitt funksjon ikke viser den høyeste og laveste utgangen, kalles dette punktet inversjonspunktet.

Hva er bruken av Local Maxima og Local Minima?

For å finne ut den ekstreme verdien av en funksjon innenfor et bestemt område.