EN Funksjon i matematikk er en spesiell relasjon mellom settet med inngangsverdier og settet med utgangsverdier. I funksjon gir hver inngangsverdi en bestemt utgangsverdi. Vi representerer en funksjon i matematikk som, y = f(x) hvor x er inngangsverdien og for hver x vi får en utgangsverdi som y.

I denne artikkelen vil vi lære om, funksjoner i matematikk, deres ulike typer, eksempler og andre i detalj.

Innholdsfortegnelse

• Hva er en funksjon i matematikk?
• Funksjonsdefinisjon i matematikk
• Eksempler på funksjoner
• Betingelse for en funksjon
• Representasjon av funksjoner i matematikk
• Identifikasjon av funksjon
• Typer funksjon
• Hva er en funksjon i algebra?
• Domene og rekkevidde for en funksjon
• Sammensetning av funksjoner
• Algebra av funksjoner
• Hva er en funksjon på en graf?
• Grafiske funksjoner
• Vanlige funksjoner
• Anvendelser av funksjoner
• Eksempler på funksjon
• Øv problemer på hva som er en funksjon

Hva er en funksjon i matematikk?

En funksjon i matematikk er en forhold mellom inngangsverdiene (domene) og utgangsverdiene (range) for de gitte settene slik at ikke to variabler fra domenesettene er knyttet til samme variabel i rangesettet. Et enkelt eksempel på en funksjon i matematikk er f(x) = 2x, som er definert på R→R, her er enhver variabel i domenet relatert til kun én variabel i området.

En funksjon i matematikk har et domene, codomain og range. Domenet er settet av alle mulige verdier av x og rekkevidden til funksjonen er settet av alle utgangsverdiene til y. Området er delmengden av codomene til en funksjon. Vi kan også si at en funksjon i matematikk er en relasjon med en unik utgang og ingen to inngangsverdier har lignende utgang i en funksjon som er tilfellet for relasjon.

Funksjonsdefinisjon i matematikk

Funksjon er en spesiell relasjon eller metode som kobler hvert medlem av sett A til et unikt medlem av sett B via en definert relasjon. Sett A kalles domene og sett B kalles co-domene til funksjonen. En funksjon i matematikk fra sett A til sett B er definert som,

f = ∀ a ∈ A, b ∈ B

Hver funksjon er en relasjon, men hver relasjon er ikke en funksjon. Kriteriene for at enhver relasjon skal betraktes som en funksjon, ettersom hvert element i sett A i funksjon bare har ett bilde i sett B, mens et element i sett A i relasjon kan ha mer enn ett bilde i sett B.

Vi definerer en funksjon i matematikk fra ikke-tomt sett A til ikke-tomt sett B slik at,

(a, b) ∈ f, så f(a) = b

hvor vi ringte b som bildet av en definert under relasjonen f .

Hvert element 'en' av sett A har et unikt bilde ' b ' i sett B er det en funksjon.

Eksempler på funksjoner

En funksjon i matematikk f er definert som, y = f(x) hvor x er inngangsverdien, og for hver inngangsverdi av x får vi en unik verdi av y. Ulike eksempler på funksjonene i matematikk definert på R→R er,

• y = f(x) = 3x + 4
• y = f(x) = sin x + 3
• y = f(x) = -3x²+ 3 osv

Betingelse for en funksjon

For to ikke-tomme sett A og B, en funksjon f: A→B angir det f er en funksjon fra A til B, hvor EN er et domene og B er et co-domene.

For ethvert element, a ∈ A, et unikt element, b ∈ B er det slik at (a,b) ∈ f. Det unike elementet b som er relatert til a er betegnet med f(a) og leses som f av a. Dette kan forstås bedre fra bildet nedenfor:

Vertikal linjetest

Vertikal linjetest brukes for å bestemme om en kurve er en funksjon eller ikke. Hvis en kurve skjærer en vertikal linje ved mer enn ett punkt, er kurven ikke en funksjon.

Representasjon av funksjoner i matematikk

Vi representerer en funksjon i matematikk som,

y = f(x) = x + 3

Her er settet med verdier til x domenet til funksjonen og settet med utgangsverdier til y er co-domenet til funksjonen. Her er funksjonen definert for alle reelle tall da den gir en unik verdi for hver x, men det er ikke alltid mulig å få utdata for hver verdi av x i et slikt tilfelle vi definerer funksjonen i to deler, dette kan forstås som

• f(x) = 1/(x – 2), hvor x ≠ 2
• f(x) = x²hvor x ∈ {R}

Vi kan definere en funksjon i matematikk som en maskin som tar litt input og gir en unik utgang. Funksjonen f(x) = x²er definert nedenfor som,

Vi kan representere en funksjon i matematikk ved hjelp av tre-metoden som,

• Sett med bestilte par
• Tabellskjema
• Grafisk form

For eksempel, hvis vi representerer en funksjon som, f(x) = x³

En annen måte å representere den samme funksjonen på er som sett med bestilte par som,

f = {(1,1), (2,8), (3,27)}

I det ovennevnte settet er domenet til funksjonen D = {1, 2, 3} og rekkevidden til funksjonen er R = {1, 8, 27}

Identifikasjon av funksjon

Funksjon er klassifisert som en spesiell type relasjon i matematikk. Det er følgende regler som kan brukes til å identifisere en funksjon:

• En relasjon der hver inngang som er kartlagt til en unik utgang er en funksjon. Dette kalte en til en funksjon.
• En relasjon der to innganger (preimage) kartlagt til en enkelt utgang er også en funksjon. Dette er mange til én funksjon.
• En relasjon der én inngang er kartlagt to forskjellige utdata er ikke en funksjon.
• En relasjon der mange innganger er kartlagt til mange utganger etter ingen spesifikk regel, er ikke en funksjon.

Typer funksjon

Annerledes Typer funksjoner brukes til å løse ulike typer matematiske problemer spesielt knyttet til kurver og ligninger. Det er tre hovedtyper av funksjoner i matematikk som er basert på elementkartleggingen fra sett A til sett B.

Injektiv funksjon eller en til en funksjon

Funksjonen der hvert element i domenet har et distinkt bilde i codomenet kalles Injektiv eller En-til-en funksjon .

f: A → B sies å være en-til-en eller injektiv hvis bildene av distinkte elementer i A under f er distinkte, dvs.

f(a ₁ ) = b ₁ , f(a ₂ ) = b ₂

hvor en₁, a₂∈ A og b₁, b₂∈ B

Surjektive funksjoner eller Onto Function

Surjective Function er funksjonen der hvert element i codomain har et forhåndsbilde i domenet. Det kalles også Til funksjon som betyr at hvert element i codomain er assosiert med hvert element i domenet. Ingen elementer i codomain skal ha en tom relasjon. Antall elementer i codomain og range er det samme.

f: A → B sies å være på, hvis hvert element i B er bildet av et element av A under f, dvs. for hver b ϵ B, eksisterer det et element 'a' i A slik at f(a) = b.

Vedkommende funksjon

Hvis en funksjon har egenskaper for både Injektiv (En til En) og Surjektiv (På funksjon), kalles funksjonen en Vedkommende funksjon . I Bijective Function er hvert element i domenet relatert til hvert element i codomenet, og det er også en-til-en-relasjon. Dette innebærer at antallet elementer i codomenet og området er det samme, og at ingen element verken i domenet eller codomain har tom relasjon.

Basert på utgangsverdiene klassifiseres funksjonene som oddetalls- og partallsfunksjoner. La oss ta en titt på dem

Odd funksjoner

Odd-funksjon er en type funksjon som viser symmetri om opprinnelsen. Spesifikt, hvis f(x) er en oddetallsfunksjon, viser den at f(-x) = -f(x)

jevn funksjon

Even funksjon er en type funksjon som viser symmetri om y-aksen. Spesifikt, hvis f(x) er en jevn funksjon, viser den at f(-x) = f(x)

Hva er en funksjon i algebra?

En funksjon i algebra er en ligning der en hvilken som helst x som kan settes inn i ligningen vil produsere nøyaktig én utgang som y ut av ligningen. Den er representert som y = f(x), hvor x er en uavhengig variabel og y er en avhengig variabel.

For eksempel:

delvis avhengighet

• y = 2x + 1
• y = 3x – 2
• y = 4y
• y = 5/x

Domene og rekkevidde for en funksjon

Domene og rekkevidde av en funksjon er henholdsvis inngangs- og utgangsverdien til en funksjon. La oss for eksempel si at vi har en funksjon gitt som f(x) = x². Her kan vi ta alle det reelle tallet som inngangsverdien til x og utgangen vil alltid være et positivt reelt tall. Derfor er dets domene satt av alle reelle tall representert som R, mens området er sett med positive reelle tall representert som R⁺

Sammensetning av funksjoner

Hvis f: A → B og g: B→ C være to funksjoner. Da er sammensetningen av f og g betegnet som f(g) og den er definert som funksjonen tåke = f(g(x)) for x ∈ A.

La oss ta to funksjoner f(x) = x + 3 og g(x) = 2x²

tåke = f(g(x))

⇒ tåke = f(2x²)

⇒ tann = 2x²+ 3

Lære mer, Sammensetning av funksjon

Algebra av funksjoner

Algebra av funksjoner involverer algebraiske operasjoner som utføres mellom to funksjoner. Den algebraiske operasjonen for to funksjoner f(x) og g(x) definert på den reelle verdien av x er nevnt nedenfor:

• (f + g) (x) = f(x) + g(x)
• (f – g) (x) = f(x) – g(x)
• (f.g) (x) = f(x).g(x)
• (kf(x)) = k(f(x)); {For, k er et reelt tall}
• (f/g)(x) = f(x)/g(x); {For g(x) ≠ 0}

Hva er en funksjon på en graf?

En funksjon kan enkelt representeres på en graf. Enhver funksjon på grafen representerer en kurve (inkludert rett linje) i x-y-planet kartlagt for dens inngangs- og tilsvarende utgangsverdier.

For å plotte en funksjon på en finn først noen punkter som ligger på funksjonen og slå deretter sammen disse punktene i henhold til funksjonens lokus. For eksempel for å tegne funksjonen (rett linje) f(x) = y = 5x – 2 trenger vi et punkt på grafen. For å finne punktet punktet på grafen tar vi først de tilfeldige verdiene av x og finner deretter deres tilsvarende verdier av y, som,

f(x) = y = 5x- 2

hvis x = 0, y = 5(0) – 2 = -2 ⇒ (x, y) = (0, -2)

hvis x = 1, y = 5(1) – 2 = 3 ⇒ (x, y) = (1, 3)

hvis x = 2, y = 5(2) – 2 = 8 ⇒ (x, y) = (2, 8)

Ved å slå sammen disse punktene kan vi få grafen til funksjonen y = 5x – 2

Grafiske funksjoner

Å kjenne verdiene til x gjør at en funksjon f(x) kan representeres på en graf. Fordi y = f(x), kan vi finne den tilhørende verdien for y ved å starte med verdiene til x. Som et resultat kan vi plotte en graf i et koordinatplan ved å bruke x- og y-verdier. Tenk på følgende scenario:

Anta at y = x + 3

Når x = 0, er y = 3

På samme måte,

• x = -2, y = -2 + 3 = 1
• x = -1, y = -1 + 3 = 2
• x = 1, y = 1 + 3 = 4
• x = 2, y = 2 + 3 = 5
• x = 3, y = 3 + 3 = 6

Som et resultat kan vi plotte grafen for funksjon x + 3 ved å bruke disse verdiene.

Vanlige funksjoner

Noen vanlige funksjoner som vanligvis brukes i matematikk er diskutert nedenfor:

Virkelig funksjon

Virkelig funksjon i matematikk refererer til en funksjon hvis domene og området er delmengder av de reelle tallene (betegnet som ℝ). I enklere termer er en reell funksjon en matematisk regel eller relasjon som tildeler en reell tallverdi til hver reell tallinngang.

Virkelige funksjoner

Polynomfunksjon

Funksjonen der eksponentene til algebraiske variabler er ikke-negative heltall kalles a Polynomfunksjon . Hvis potensen til variabelen er 1 kalles den en lineær funksjon, hvis potensen er 2 kalles den en kvadratisk funksjon, og hvis potensen er 3 kalles den en kubikkfunksjon. Noen eksempler på polynomfunksjoner er nevnt nedenfor:

• y = x²
• y = 2x + 3
• y = 3x³

Polynomfunksjon kan videre klassifiseres i følgende typer:

Lineær funksjon : Lineær funksjon er de der maksimal potens av variabel er 1. Den generelle formen til Lineær funksjon er y = mx + c

Kvadratisk funksjon : Kvadratisk funksjon er de der maksimal potens av variabel er 2. Generell form for kvadratisk funksjon er, øks ² + bx + c = 0

Kubisk funksjon : Kubisk funksjon er de der maksimal potens av variabel er 3. Generelt Form for kubikkfunksjon er gitt som øks ³ + bx ² + cx + d = 0

Invers funksjon

Invers funksjon er funksjonen som inneholder inversen til en annen funksjon. La oss si at vi har en funksjon y = f(x), så vil dens inverse funksjon være x = f^-1(y). I y = f(x) er domenet x og området er y mens i tilfellet med x = f^-1(y), domenet er y og området er x. Dermed kan vi si at domenet til den opprinnelige funksjonen er området til dens inverse funksjon og området til den opprinnelige funksjonen er domenet til den opprinnelige funksjonen. Noen eksempler på inverse funksjoner er,

• y = så^-1(x)
• y = x^-1

Område funksjon

Arealfunksjon refererer vanligvis til en matematisk funksjon som beregner arealet til en geometrisk form eller region. Arealfunksjonen tar en eller flere parametere som input og returnerer arealet til den tilsvarende formen. Noen av områdefunksjonene er omtalt nedenfor:

Område med sirkelfunksjon : Område av sirkel (A) er en funksjon av dens radius(r), slik at,

A = πr ²

Område med trekantfunksjon : Trekantområdet (A) er en funksjon av basen (b) og høyden (h), slik at,

A = (bh)/2

Eksponentiell funksjon

Eksponentiell funksjon er den som er representert som f(x) = e^x. Det brukes ofte for å vise rask vekst eller forfall.

Logaritmisk funksjon

Logaritmisk funksjon er en matematisk funksjon som representerer den inverse operasjonen av eksponentiering. Det er representert som f(x) = log x.

Takfunksjon

Takfunksjon , betegnet som ⌈x⌉, runder et reelt tall x opp til nærmeste heltall som er større enn eller lik x. Med andre ord finner den den minste heltallsverdien som er større enn eller lik x.

Gulvfunksjon

Etasjefunksjon, betegnet som ⌊x⌋, runder et reelt tall x ned til nærmeste heltall som er mindre enn eller lik x. Med andre ord finner den den største heltallsverdien som er mindre enn eller lik x.

Modulus funksjon

Modulus funksjon , også kjent som absoluttverdifunksjonen, returnerer størrelsen eller størrelsen til et reelt tall uten hensyn til fortegnet. Modulusfunksjonen er betegnet som ∣x∣, der x er inngangsverdien.

Signum funksjon

Signum funksjon , også kjent som tegnfunksjonen eller signumfunksjonen, er en matematisk funksjon som returnerer tegnet til et reelt tall. Den indikerer om tallet er positivt, negativt eller null.

Trigonometriske funksjoner

Trigonometriske funksjoner er matematiske funksjoner som relaterer vinklene til en rettvinklet trekant til lengdene på sidene. De seks primære trigonometriske funksjonene er sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecant (cosec), secant (sek) og cotangens (cot).

Komplekse funksjoner

Enhver funksjon der inngangsvariabelen er kompleks funksjon kalles den komplekse funksjonen. Et komplekst tall er et tall som kan plottes på det komplekse planet. I en komplekst tall vi har reelt tall og imaginært tall. Et komplekst tall(z) er representert som z= x + iy og en kompleks funksjon er representert som f(z) = P(x, y) + iQ(x, y)

Anvendelser av funksjoner

Når vi sier at en variabel mengde y er en funksjon av en variabel mengde x, indikerer vi at y er avhengig av x og at y sin verdi bestemmes av xs verdi. Denne avhengigheten kan uttrykkes som følger: f = y (x).

• Radiusen til en sirkel kan brukes til å beregne arealet av en sirkel. Radien r påvirker området A. Vi erklærer at A er en funksjon av r i det matematiske språket for funksjoner. Vi kan skrive A = f(r) =π×r²
• En kules volum V er en funksjon av dens radius. V = f(r) = 4/3×r³angir avhengigheten av V på r.
• Kraft er en funksjon av akselerasjonen til et legeme med fast masse m. F = g(a) = m×a.

Folk leser også:

• Relasjon og funksjon
  
• Domene og rekkevidde av trigonometriske funksjoner
• Rekkevidde for en funksjon
• Hyperbolsk funksjon

Eksempler på funksjon

Eksempel 1: For to funksjoner er f og g definert som, f(x) = x ² og g(x) = ln(2x). Finn den sammensatte funksjonen (gof )( x )

Løsning:

Gitt:

• f(x) = x²
• g(x) = ln(2x)

(gof )( x ) = g (f (x))

[g (f (x)] = ln(2f(x))

= ln(2x²)

= 2 ln(√2x)

Dermed, (gof)(x) = 2 ln(√2x)

Eksempel 2: Finn utgangen til funksjonen g(t)= 6t ² + 5 kl

• (i) t = 0
• (ii) t = 2

Løsning:

gitt funksjon,

g(t)= 6t²+ 5t

• (i) t = 0

g(0) = 6(0)²+5(0) = 0 + 0

g(0) = 0

• (ii) t = 2

g(2) = 6(2)²+5(2)

g(2) = 24 + 10

g(2) = 34

Eksempel 3: Lengden på et rektangel er fem ganger bredden, uttrykk arealet av rektangelet som funksjon av lengden.

Løsning:

La, lengden på rektangelet være l og bredden på rektangelet er b

Nå,

• b = l/5

Arealet av rektangel(A) = l × l/5 = l²/5

Dermed er rektangelområdet som funksjonen av lengden,

A(l) = l ² /5

Øv problemer på hva som er en funksjon

1. Gitt funksjonen f(x)=3x+5

• Finn f(2)
• Finn f(−1)
• Bestem domene og rekkevidde for funksjonen.

2. Gitt funksjonen g(x)=x ² – 4x + 3

hva er maven

• Finn røttene til funksjonen.
• Finn g(3) og g(0).
• Bestem toppunktet til funksjonen.

3. Gitt to funksjoner f(x)=x + 2 og h(x)=2x – 3

• Finn den sammensatte funksjonen (f ∘ h) (x)
• Evaluer (f ∘ h)(2)

Sammendrag – Hva er en funksjon

En funksjon i matematikk er en spesiell relasjon mellom inngangsverdier (domene) og utgangsverdier (område) der hver inngang er assosiert med en unik utgang. Representert som y = f(x), funksjoner har spesifikke egenskaper og kan visualiseres ved hjelp av ordnede par, tabeller eller grafer. De er essensielle i ulike matematiske problemer og kommer i forskjellige typer, inkludert injektiv (en-til-en), surjektiv (på) og bijektiv (begge). Funksjoner kan testes ved hjelp av vertikallinjetesten og klassifiseres videre i polynomiske, inverse, eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funksjoner. Å forstå funksjoner innebærer å gjenkjenne deres domene, rekkevidde og reglene som definerer dem. Eksempler inkluderer enkle lineære funksjoner som y = 2x + 1 og komplekse sammensetninger av funksjoner. Funksjoner spiller en avgjørende rolle i algebra, geometri og kalkulus, og hjelper til med representasjon og analyse av matematiske sammenhenger og fenomener i den virkelige verden.

Vanlige spørsmål om hva er en funksjon

Hva er definisjonen på en funksjon?

En relasjon f definert på et sett A til et annet sett B kalles en funksjon i matematikk hvis hver verdi av A har en unik verdi i sett B.

Hvordan skrive en funksjon i matematikk?

Funksjonen f i matematikk er representert som f: A → B og er definert som, f(x) = x + 2. Her, for hver unike verdi av x, har vi en unik verdi av y.

Hvordan transformere en funksjon?

Vi kan enkelt transformere en funksjon til andre funksjoner ved ganske enkelt å utføre grunnleggende algebraiske operasjoner på funksjonen. De forskjellige transformasjonene av funksjonen er refleksjon, translasjon, rotasjon, etc.

Hva er en rasjonell funksjon?

En brøkfunksjon der telleren og nevneren er polynomfunksjoner kalles den rasjonelle funksjonen. Noen eksempler på den rasjonelle funksjonen er,

• f(x) = x ² /(2x + 3)
• g(x) = (6x + 3)/(x – 1), etc.

Hva er en lineær funksjon?

En algebraisk funksjon der hvert ledd i funksjonen enten er konstant eller har en potens på én kalles en lineær funksjon. Noen eksempler på den lineære funksjonen er,

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = x – 5 osv.

Hva er domene og codomene for en funksjon?

Hvis vi definerer funksjonen som, y = f(x). Da er domenet til x alle verdiene til x som y resulterer i en unik verdi for. Og co-domenet til y er settet av alle verdiene til y for hver verdi av x.

Hvordan identifiserer du en funksjon i matematikk?

Hvis en inndataverdi (x) av domenet i en relasjon har mer enn ett bilde (y), kan disse relasjonene aldri være en funksjon. Så hvis verdien av x gjentas i det ordnede paret, er det aldri en funksjon.