logo

TechCodeview

Newton Raphson-metoden

Newton Raphson-metoden eller Newton-metoden er en kraftig teknikk for å løse ligninger numerisk. Det er mest brukt for tilnærming av røttene til funksjonene med virkelig verdi. Newton Rapson Method ble utviklet av Isaac Newton og Joseph Raphson, derav navnet Newton Rapson Method.

Newton Raphson-metoden innebærer iterativt å avgrense en innledende gjetning for å konvergere den mot ønsket rot. Metoden er imidlertid ikke effektiv til å beregne røttene til polynomene eller ligningene med høyere grader, men i tilfellet med smågradersligninger gir denne metoden veldig raske resultater. I denne artikkelen vil vi lære om Newton Raphson-metoden og trinnene for å beregne røttene ved hjelp av denne metoden også.



Innholdsfortegnelse

Hva er Newton Raphson-metoden?

Newton-Raphson-metoden, som også er kjent som Newtons metode, er en iterativ numerisk metode som brukes til å finne røttene til en funksjon med reell verdi. Denne formelen er oppkalt etter Sir Isaac Newton og Joseph Raphson, da de uavhengig bidro til utviklingen. Newton Raphson-metoden eller Newtons metode er en algoritme for å tilnærme røttene til nuller av funksjonene med reell verdi, ved å bruke gjetning for den første iterasjonen (x0) og deretter tilnærmet neste iterasjon (x1) som er nær røtter, ved å bruke følgende formel.

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



hvor,

  • x 0 er startverdien av x,
  • f(x 0 ) er verdien av ligningen ved startverdi, og
  • f'(x 0 ) er verdien av den første ordens deriverte av ligningen eller funksjonen ved startverdien x0.

Merk: f'(x0) bør ikke være null, ellers vil brøkdelen av formelen endres til uendelig, noe som betyr at f(x) ikke skal være en konstant funksjon.

Newton Raphson metodeformel

I den generelle formen er Newton-Raphson-metodens formel skrevet som følger:



x n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

Hvor,

  • x n-1 er estimert (n-1)throten til funksjonen,
  • f(x n-1 ) er verdien av ligningen ved (n-1)thestimert rot, og
  • f'(x n-1 ) er verdien av den førsteordensderiverte av ligningen eller funksjonen ved xn-1.

Newton Raphson-metodeberegning

Anta ligningen eller funksjonene hvis røtter skal beregnes som f(x) = 0.

er modelleksempler

For å bevise gyldigheten av Newton Raphson-metoden følges følgende trinn:

Trinn 1: Tegn en graf av f(x) for forskjellige verdier av x som vist nedenfor:

Newton Raphson-metodeberegning

Steg 2: En tangent trekkes til f(x) ved x0. Dette er startverdien.

Trinn 3: Denne tangenten vil skjære X-aksen på et bestemt punkt (x1,0) hvis den første deriverte av f(x) ikke er null, dvs. f'(x 0 ) ≠ 0.

Trinn 4: Siden denne metoden forutsetter iterasjon av røtter, vil denne x1anses å være den neste tilnærmingen til roten.

Trinn 5: Nå gjentas trinn 2 til 4 til vi når den faktiske roten x*.

Nå vet vi at helningsavskjæringsligningen til en hvilken som helst linje er representert som y = mx + c,

Hvor m er helningen på linjen og c er x-skjæringspunktet til linjen.

Ved å bruke samme formel får vi

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

Her f(x0) representerer c og f'(x0) representerer helningen til tangenten m. Siden denne ligningen gjelder for hver verdi av x, må den gjelde for x1. Dermed erstatte x med x1, og ved å likestille ligningen til null når vi trenger å beregne røttene, får vi:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x 1 − x 0 )

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Som er Newton Raphson-metodens formel.

Dermed ble Newton Raphsons metode matematisk bevist og akseptert for å være gyldig.

Konvergens av Newton Raphson-metoden

Newton-Raphson-metoden har en tendens til å konvergere hvis følgende betingelse gjelder:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Det betyr at metoden konvergerer når modulen til produktet av verdien av funksjonen ved x og den andrederiverte av en funksjon ved x er mindre enn kvadratet av moduloen til den første deriverte av funksjonen ved x. Newton-Raphson-metoden har en konvergens av orden 2 som betyr at den har en kvadratisk konvergens.

Merk:

Newton Raphsons metode er ikke gyldig hvis den første deriverte av funksjonen er 0 som betyr f'(x) = 0. Det er bare mulig når den gitte funksjonen er en konstant funksjon.

  • Newtons metode for å finne røtter
  • Forskjellen mellom Newton Raphson-metoden og vanlig falsi-metoden
  • Forskjellen mellom biseksjonsmetode og Newton Raphson-metode
  • Root Finning Algoritme

Eksempel på Newton Raphson-metode

La oss vurdere følgende eksempel for å lære mer om prosessen med å finne roten til en funksjon med virkelig verdi.

Eksempel: For startverdien x 0 = 3, tilnærme roten til f(x)=x 3 +3x+1.

Løsning:

Gitt, x0= 3 og f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Ved å bruke Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

ins nøkkel

= 1,767

Løste problemer med Newton Raphson-metoden

Oppgave 1: For startverdien x 0 = 1, tilnærme roten til f(x)=x 2 −5x+1.

Løsning:

Gitt, x0= 1 og f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Ved å bruke Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1 -1

⇒ x1= 0

Oppgave 2: For startverdien x 0 = 2, tilnærme roten til f(x)=x 3 −6x+1.

Løsning:

Gitt, x0= 2 og f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Ved å bruke Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2,5

Oppgave 3: For startverdien x 0 = 3, tilnærme roten til f(x)=x 2 −3.

Løsning:

Gitt, x0= 3 og f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

css bakgrunn

Ved å bruke Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

Oppgave 4: Finn roten til ligningen f(x) = x 3 – 3 = 0, hvis startverdien er 2.

Løsning:

Gitt x0= 2 og f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

Ved å bruke Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1.583

Bruker Newton Raphson-metoden igjen:

x2= 1,4544

x3= 1,4424

x4= 1,4422

Derfor er roten av ligningen omtrentlig x = 1,442.

Oppgave 5: Finn roten til ligningen f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, hvis startverdien er 3.

Løsning:

Gitt x0= 3 og f(x) = x3– 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Ved å bruke Newton Raphson-metoden:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

string sammenligne i java

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2,3181

Bruker Newton Raphson-metoden igjen:

x2= 1,9705

x3= 1,8504

x4= 1,8345

x5= 1,8342

Derfor er roten av ligningen omtrent x = 1,834.

Vanlige spørsmål om Newton Raphson-metoden

Spørsmål 1: Definer Newton Raphson-metoden.

Svar:

Newton Raphson-metoden er en numerisk metode for å tilnærme røttene til en gitt funksjon med reell verdi. I denne metoden brukte vi forskjellige iterasjoner for å tilnærme røttene, og jo høyere antall iterasjoner, desto mindre feil i verdien av den beregnede roten.

Q2: Hva er fordelen med Newton Raphson-metoden?

Svar:

Newton Raphson-metoden har en fordel at den lar oss gjette røttene til en ligning med liten grad veldig effektivt og raskt.

Q3: Hva er ulempen med Newton Raphson-metoden?

Svar:

Ulempen med Newton Raphson-metoden er at den har en tendens til å bli veldig kompleks når graden av polynomet blir veldig stor.

Spørsmål 4: Oppgi enhver virkelig anvendelse av Newton Raphsons metode.

Svar:

Newton Raphson-metoden brukes til å analysere vannstrømmen i vanndistribusjonsnettverk i det virkelige liv.

Spørsmål 5: Hvilken teori er Newton-Raphson-metoden basert på?

Svar:

Newton Raphsons metode er basert på teorien om kalkulus og tangent til en kurve.