De invers av matrise er matrisen som ved å multiplisere med den opprinnelige matrisen resulterer i en identitetsmatrise. For enhver matrise A er dens inverse betegnet som A-1.
La oss lære om matriseinversen i detalj, inkludert dens definisjon, formel, metoder for hvordan du finner inversen til en matrise og eksempler.
Innholdsfortegnelse
- Matrise invers
- Begreper relatert til Matrix Inverse
- Hvordan finne invers av matrise?
- Invers av en matriseformel
- Invers matrisemetode
- Invers av 2×2 matriseeksempel
- Determinant for invers matrise
- Egenskaper til invers av matrise
- Eksempler på invers løst matrise
Matrise invers
Den inverse av en matrise er en annen matrise som, når multiplisert med den gitte matrisen, gir multiplikativ identitet .
For matrise A og dens invers av A-1, holder identitetsegenskapen.
A.A -1 = A -1 A = jeg
hvor Jeg er identitetsmatrisen.
Begreper relatert til Matrix Inverse
Terminologien som er oppført nedenfor kan hjelpe deg å forstå det motsatte av en matrise tydeligere og enklere.
| Vilkår | Definisjon | Formel/prosess | Eksempel med matrise A |
|---|---|---|---|
| Liten | Minor av et element i en matrise er determinanten for matrisen som dannes ved å fjerne raden og kolonnen til det elementet. | For element aij, fjern ith rad og jth kolonne for å danne en ny matrise og finne dens determinant. | Mindre av en elleve er bestemmende for |
| Kofaktor | Kofaktoren til et element er minor av det elementet multiplisert med (-1) i+j , hvor i og j er rad- og kolonneindeksene til elementet. | Kofaktor til enij= (-1)i+jMindre av enij | Kofaktor av en elleve = (-1) 1+1 × Mindre av en elleve = Mindre av en elleve |
| Avgjørende faktor | Determinanten til en matrise beregnes som summen av produktene av elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne og deres respektive kofaktorer. | For en rad (eller kolonne), summerer du produktet av hvert element og dets kofaktor. | Determinant av A = en elleve × Kofaktor til en elleve + en 12 × Kofaktor av en 12 + en 1. 3 × Kofaktor av en 1. 3 . |
| Stedfortreder | Adjointen til en matrise er transponeringen av dens kofaktormatrise. | Lag en matrise med kofaktorer for hvert element i den opprinnelige matrisen og transponer den deretter. | Adjoint av A er transponeringen av matrisen dannet av kofaktorene til alle elementene i A. |
Singular matrise
En matrise hvis verdi av determinanten er null kalles en singularmatrise, dvs. enhver matrise A kalles en singularmatrise hvis |A| = 0. Invers av en entallsmatrise eksisterer ikke.
Ikke-singular matrise
En matrise hvis verdi av determinanten er ikke-null kalles en ikke-singular matrise, dvs. enhver matrise A kalles en ikke-singular matrise hvis |A| ≠ 0. Invers av en ikke-singular matrise eksisterer.
Identitetsmatrise
En kvadratisk matrise der alle elementene er null bortsett fra de viktigste diagonale elementene kalles identitetsmatrisen. Det er representert ved hjelp av I. Det er identitetselementet i matrisen som for enhver matrise A,
A×I = A
Et eksempel på en identitetsmatrise er,
Jeg3×3=
Dette er en identitetsmatrise av størrelsesorden 3×3.
Les mer :
- Identitetsmatrise
Hvordan finne invers av matrise?
Det er to måter å finne inversen til en matrise i matematikk:
- Bruke Matrix Formula
- Bruke inverse matrisemetoder
Invers av en matriseformel
Inversen til matrise A, det vil si A-1beregnes ved å bruke den inverse av matriseformelen, som innebærer å dele adjointen til en matrise med dens determinant.
Invers av en matriseformel
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
hvor,
- adj A = adjoint av matrisen A, og
- |A| = determinant av matrisen A.
Merk : Denne formelen fungerer bare på kvadratiske matriser.
Følg disse trinnene for å finne invers av matrise ved å bruke invers av en matriseformel.
Trinn 1: Bestem mindreårige for alle A-elementer.
Steg 2: Deretter beregner du kofaktorene til alle elementene og bygger kofaktormatrisen ved å erstatte elementene til A med deres respektive kofaktorer.
Trinn 3: Ta transponeringen av A sin kofaktormatrise for å finne dens adjoint (skrevet som adj A).
Trinn 4: Multipliser adj A med den resiproke av determinanten til A.
Nå, for enhver ikke-singular kvadratisk matrise A,
EN -1 = 1 / |A| × Adj (A)
Eksempel: Finn inversen til matrisen
Vi har,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Finn adjointen til matrise A ved å beregne kofaktorene til hvert element og deretter få kofaktormatrisens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Finn verdien av determinanten til matrisen.
|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)
⇒ |A| = 49
Så det inverse av matrisen er,
EN-1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒ A-1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Invers matrisemetode
Det er to invers matrisemetoder for å finne matriseinvers:
- Determinantmetode
- Elementær transformasjonsmetode
Metode 1: Determinantmetode
Den viktigste metoden for å finne matriseinversen er å bruke en determinant.
java binært tre
Den inverse matrisen er også funnet ved å bruke følgende ligning:
EN -1 = adj(A) / det(A)
hvor,
- adj(A) er adjunkten til en matrise A, og
- det (A) er determinanten for en matrise A.
For å finne adjunkten til en matrise A kreves kofaktormatrisen til A. Da er adjoint (A) transponeringen av kofaktormatrisen til A, dvs.
adj (A) = [C ij ] T
- For kofaktoren til en matrise, dvs. Cij, kan vi bruke følgende formel:
C ij = (-1) i+j det (M ij )
hvor M ij refererer til (i, j) th mindre matrise når Jeg th rad og j th kolonnen fjernes.
Metode 2: Elementær transformasjonsmetode
Følg trinnene nedenfor for å finne en invers matrise etter elementær transformasjonsmetode.
Trinn 1 : Skriv den gitte matrisen som A = IA, hvor I er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som A.
Steg 2 : Bruk sekvensen av enten radoperasjoner eller kolonneoperasjoner til identitetsmatrisen er oppnådd på LHS, bruk også lignende elementære operasjoner på RHS slik at vi får I = BA. Dermed er matrisen B på RHS den inverse av matrise A.
Trinn 3: Sørg for at vi enten bruker radoperasjon eller kolonneoperasjon mens vi utfører elementære operasjoner.
Vi kan enkelt finne inversen til 2 × 2-matrisen ved å bruke den elementære operasjonen. La oss forstå dette ved hjelp av et eksempel.
Eksempel: Finn inversen av 2 × 2, A =
Løsning:
Gitt:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Nå, R1⇢ R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R2– R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R223
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R1⇢ R1– R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Dermed er den inverse av matrisen A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} erEN-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Invers av 2×2 matriseeksempel
Invers av 2×2-matrisen kan også beregnes ved å bruke snarveimetoden bortsett fra metoden diskutert ovenfor. La oss vurdere et eksempel for å forstå snarveismetoden for å beregne inversen av 2 × 2 matrise.
For gitt matrise A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Vi vet, |A| = (annonse – f.Kr.)
og adj A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} deretter bruke formelen for invers
EN-1= (1 / |A|) × Adj A
⇒ A-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Dermed beregnes inversen av 2 × 2-matrisen.
Invers av 3X3 matriseeksempel
La oss ta en hvilken som helst 3×3 matrise A =
Den inverse av 3×3-matrisen beregnes ved å bruke invers matriseformel ,
EN -1 = (1 / |A|) × Adj A
java objekt til json
Determinant for invers matrise
Determinant av invers matrise er den resiproke av determinanten til den opprinnelige matrisen. dvs.,
det (A -1 ) = 1 / it(A)
Beviset for uttalelsen ovenfor diskuteres nedenfor:
det(A × B) = det (A) × det(B) (vet allerede)
⇒ A × A-1= I (etter invers matriseegenskap)
⇒ det(A × A-1) = det(I)
⇒ it(A) × it(A-1) = det(I) [ but, det(I) = 1]
⇒ it(A) × it(A-1) = 1
⇒ det(A-1) = 1 / it(A)
Derfor bevist.
Egenskaper til invers av matrise
Invers matrise har følgende egenskaper:
- For enhver ikke-singular matrise A, (EN -1 ) -1 = A
- For to ikke-singulære matriser A og B, (AB) -1 = B -1 EN -1
- Invers av en ikke-singular matrise eksisterer, for en singular matrise eksisterer ikke den inverse.
- For enhver ikke-entall A, (EN T ) -1 = (A -1 ) T
I slekt:
- Inverterbar matrise
- Matriser: Egenskaper og formler
- Matematisk operasjon på matriser
- Determinant av matrise
- Hvordan finne determinanten til matrisen?
Eksempler på invers løst matrise
La oss løse noen eksempelspørsmål om Inverse of Matrix.
Eksempel 1: Finn inversen til matrisen
Løsning:
Vi har,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Finn adjointen til matrise A ved å beregne kofaktorene til hvert element og deretter få kofaktormatrisens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Finn verdien av determinanten til matrisen.
|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)
= –3
Så det inverse av matrisen er,
EN-1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Eksempel 2: Finn inversen til matrisen A=old{ ved å bruke formelen.}
Løsning:
Vi har,
A=
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Finn adjointen til matrise A ved å beregne kofaktorene til hvert element og deretter få kofaktormatrisens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Finn verdien av determinanten til matrisen.
|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Så det inverse av matrisen er,
EN-1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Eksempel 3: Finn inversen av matrisen A=
Løsning:
Vi har,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Finn tilknytningen til matrise A ved å beregne kofaktorene til hvert element og deretter få kofaktormatrisens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Finn verdien av determinanten til matrisen.
|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)
= 1
Så den inverse av matrisen er,
EN-1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Eksempel 4: Finn inversen av matrisen A=
Løsning:
Vi har,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Finn adjointen til matrise A ved å beregne kofaktorene til hvert element og deretter få kofaktormatrisens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Finn verdien av determinanten til matrisen.
|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)
= 20
Så det inverse av matrisen er,
EN-1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Ofte stilte spørsmål om invers av matrise
Hva er invers av matrise?
Resiprok av en matrise kalles inverse av en matrise. Bare kvadratiske matriser med ikke-null determinanter er inverterbare. Anta at for enhver kvadratisk matrise A med invers matrise B deres produkt alltid er en identitetsmatrise (I) av samme rekkefølge.
[A]×[B] = [I]
Hva er Matrix?
Matrise er en rektangulær rekke tall som er delt inn i et definert antall rader og kolonner. Antall rader og kolonner i en matrise omtales som dens dimensjon eller rekkefølge.
Hva er inversen til 2×2-matrisen?
For en hvilken som helst matrise A eller rekkefølge 3×3 finnes dens inverse ved å bruke formelen,
EN -1 = (1 / |A|) × Adj A
Hva er inversen til 3×3-matrisen?
Den inverse av en hvilken som helst kvadratisk 3×3 matrise (si A) er matrisen av samme rekkefølge angitt med A-1slik at produktet deres er en identitetsmatrise i størrelsesorden 3×3.
[EN] 3×3 × [A -1 ] 3×3 = [I] 3×3
Er Adjoint og Invers av Matrix det samme?
Nei, adjunkten til en matrise og inversen til en matrise er ikke den samme.
Hvordan bruke invers av matrise?
Inversen av en matrise brukes til å løse algebraiske uttrykk i matriseform. For eksempel, for å løse AX = B, der A er koeffisientmatrisen, X er den variable matrisen og B er den konstante matrisen. Her er den variable matrisen funnet ved å bruke den inverse operasjonen som,
X = A -1 B
Hva er inverterbare matriser?
Matrisene hvis inverse eksisterer kalles invertible. Inverterbare matriser er matriser som har en determinant som ikke er null.
Hvorfor eksisterer ikke invers av 2 × 3 matrise?
Det inverse av bare en kvadratisk matrise eksisterer. Siden 2 × 3-matrisen ikke er en kvadratisk matrise, men snarere en rektangulær matrise, eksisterer derfor ikke dens inverse.
Tilsvarende er 2 × 1-matrisen heller ikke en kvadratisk matrise, men snarere en rektangulær matrise, og dens inverse eksisterer derfor ikke.
Hva er invers av identitetsmatrise?
Det motsatte av en identitetsmatrise er selve identitetsmatrisen. Dette er fordi identitetsmatrisen, betegnet som Jeg (eller Jeg n for en n × n matrise), er den eneste matrisen der hvert element langs hoveddiagonalen er 1 og alle andre elementer er 0. Når vi multipliserer en identitetsmatrise med seg selv (eller dens inverse), får vi identitetsmatrisen igjen.