Kubisk ligning er en matematisk ligning der et polynom på grad 3 er likestilt med en konstant eller et annet polynom på maksimal grad 2. Standardrepresentasjonen av kubikklikningen er øks ³ +bx ² +cx+d = 0 hvor a, b, c og d er reelle tall. Noen eksempler på kubikkligning er x ³ – 4x ² + 15x – 9 = 0, 2x ³ – 4x ² = 0 etc.

Innholdsfortegnelse

• Polynomdefinisjon
• Grad av ligning
• Definisjon av kubikklikning
• Hvordan løse kubiske ligninger?
• Løse kubiske ligninger
• Løse kubikkligning ved hjelp av faktorer
• Løse kubikklikning ved hjelp av grafisk metode
• Problemer basert på løsning av kubiske ligninger
• Øv på problemer med å løse kubiske ligninger

For å lære hvordan man løser kubiske ligninger må vi først lære om polynomer, graden av polynomet og andre. I denne artikkelen vil vi lære om, polynomer, polynomiske ligninger, løse kubiske ligninger eller hvordan du løser kubiske ligninger og andre i detalj.

Polynomdefinisjon

Polynom er definert som følger,

EN polynom er et algebraisk uttrykk der potensen til en variabel er et ikke-negativt heltall. Den generelle formen for et polynom er a₀xⁿ+ a₁x^n-1+ a₂x^n-2+… + a_n. Avhengig av den maksimale kraften til variabelen, kan et polynom klassifiseres som et monomial, binomial, trinomial, og så videre.

Hva er en ligning?

En ligning er definert som følger,

En ligning er et polynom som er likestilt med en numerisk verdi eller et hvilket som helst annet polynom. For eksempel er x + 2 et polynom, men x + 2 = 5 er en ligning. På samme måte er 2x + 3 = x + 1 også en ligning, mens 2x + 3 og x + 1 er polynomer individuelt.

Grad av ligning

Definisjonen av ligningsgraden er angitt nedenfor:

Grad av en ligning er definert som den maksimale kraften til variabelen i en ligning.

Basert på graden av ligningen, kan en ligning klassifiseres som følger:

• Lineær ligning
• Kvadratisk ligning
• Kubisk ligning
• Biquadratisk ligning

Lineær ligning

Ligningen der den maksimale potensen til variabelen er 1 kalles en lineær ligning.

• For eksempel 3x +1 = 0

Kvadratisk polynom

Ligningen der den maksimale potensen til variabelen er 2 er en kvadratisk ligning.

• For eksempel 3x²+x+1 = 0

Kubisk ligning

Ligningen der den maksimale potensen til variabelen er 3 kalles en kubikkligning.

• For eksempel 5x³+3x²+x+1 = 0

Biquadratisk polynom

Ligningen der den maksimale potensen til variabelen er 4 kalles et biquadratisk polynom eller kvartpolynom.

• For eksempel 5x⁴+4x³+3x²+2x+1 = 0

Definisjon av kubikklikning

Kubisk ligning er en algebraisk ligning der høyeste grad av polynomet er 3. Noen eksempler på kubikklikninger er 5x³+3x²+x+1 = 0, 2x³+8 = x ⇒ 2x³-x+8 = 0 osv.

Den generelle formen for en kubikkligning er,

øks ³ + bx ² + cx + d = 0, a ≠ 0

Hvor,

• a, b, og c er koeffisientene til variabel og deres eksponenater og d er konstanten, og
• a, b, c og d er reelle tall.

Hvordan løse kubiske ligninger?

En kubikkligning er en ligning med grad tre. Den har tre løsninger, og den kan enkelt løses ved å følge trinnene som er lagt til nedenfor,

Trinn 1: Finn én løsning på kubikkligningen ved hjelp av treff og prøv-metoden. Anta at vi har en kubikkligning P(x), så finn for enhver x = a, P(a) = 0 ved å ta, x = 0, ±1, ±2, ±3, … og så.

Steg 2: Når vi får P(a) = 0, finn faktoren (x – a) til P(x)

Trinn 3: Del P(x) med (x – a) for å få en andregradsligning si Q(x) ved hjelp av polynomdivisjon.

Trinn 4: Faktariser andregradsligningen Q(x) for å få faktorene som (x – b), og (x – c).

Trinn 5: (x – a), (x – b) og (x – c) er faktorene til P(x) og ved å løse hver faktor får vi røttene til ligningen som, a, b og c.

Lære mer om, Delende polynom

Løse kubiske ligninger

EN Kubisk ligning kan løses på to måter

• Ved å redusere den til en andregradsligning og deretter løse den enten ved å faktorisere eller kvadratisk formel
• Etter grafisk metode

EN Kubisk ligning har tre røtter. Disse røttene kan være ekte eller imaginære. Det kan også være distinkte røtter eller to like og en forskjellig rot og alle tre samme røtter.

Merk at for enhver ligning, inkludert Kubiske ligninger , likningen må alltid ordnes i sin standardform først før likningen løses.

For eksempel, hvis den gitte ligningen er 2x²-5 = x + 4/x, så må vi omarrangere dette til standardformen, dvs. 2x³-x²-5x-4 = 0. Nå kan vi løse ligningen ved å bruke en hvilken som helst passende metode.

Løse kubikkligning ved hjelp av faktorer

Løsningen av kubisk ligning ved bruk av faktorteorem er forklart ved å bruke eksemplet lagt til nedenfor,

strengverdi av

Eksempel: Finn røttene til ligningen f(x) = 3x ³ -16x ² + 23x − 6 = 0.

Løsning:

Gitt uttrykk: f(x) = 3x³-16x²+ 23x − 6 = 0

Faktoriser først polynomet for å få røtter

Siden konstanten er -6, er de mulige faktorene 1, 2, 3, 6

f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0

f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0

f(3) = 81 – 144 + 69 – 6 = 0

java erstatte alle

f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0

Det vet vi i følge Faktorteorem hvis f(a) = 0, så er (x-a) en faktor av f(x)

Så, (x – 2) og (x – 3) er faktorer av f(x). Derfor vil produktet av (x – 2) og (x – 3) også være faktor av f(x). For å finne de resterende faktorene, bruk den lange divisjonsmetoden og del f(x) med produktet av (x – 2) og (x – 3)

Derfor er Divisor = (x – 2)(x – 3) = (x²– 5x + 6) og utbytte = 3x³-16x²+ 23x − 6. Del nå som vist nedenfor,

Etter deling får vi (3x- 1) som kvotient og resten er 0. Nå som pr Divisjonsalgoritme vi vet det Utbytte = Divisor×Quotient+Remainder.

⇒ f(x) = (3x³-16x²+ 23x − 6) = (x²– 5x + 6)(3x-1)

Siden f(x) = 0

⇒ (x²– 5x + 6)(3x-1) = 0

⇒ x²– 5x + 6 = 0 eller 3x-1 = 0

Nå skal vi ta 3x-1 = 0 ⇒ x = 1/3 som vi allerede kjenner to røtter fra x²– 5x + 6 som er 2 og 3

Så,

Røtter til det gitte Kubisk ligning er 1/3, 2 og 3.

Løse kubikklikning ved hjelp av grafisk metode

En kubikkligning løses grafisk når du ikke kan løse den gitte ligningen ved hjelp av andre teknikker. Så vi trenger en nøyaktig tegning av den gitte kubikkligningen. Ligningens røtter er punktet(e) der grafen krysser X-aksen hvis ligningen er i termene av x og hvis ligningen er i termene av y, er røttene til ligningen punktene der grafen kutter Y-aksen.

Antall reelle løsninger til kubikkligningen er lik antall ganger grafen til kubikkligningen krysser X-aksen.

Eksempel: Finn røttene til ligningen f(x) = x ³ - 4x ² − 9x + 36 = 0, ved bruk av den grafiske metoden.

Løsning:

Gitt uttrykk: f(x) = x³- 4x²− 9x + 36 = 0.

Erstatt nå tilfeldige verdier for x i grafen for den gitte funksjonen:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f(x)	-56	0	19	40	36	24	10	0	0	16

Vi kan se at grafen har kuttet X-aksen ved 3 punkter, derfor er det 3 reelle løsninger.

Fra grafen er løsningene: x = -3, x = 3 og x = 4.

Derfor er røttene til den gitte ligningen -3, 3 og 4.

Les mer,

• Lineær ligning
• Løse kvadratisk ligning
• Faktorerende polynomer

Problemer basert på løsning av kubiske ligninger

Oppgave 1: Finn røttene til f(x) = x ³ – 4x ² -3x + 6 = 0.

Løsning:

Gitt uttrykk: f(x) = x³– 4x²-3x + 6 = 0.

Faktoriser først polynomet for å få røtter.

Siden konstanten er +6, er de mulige faktorene 1, 2, 3, 6.

f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0

f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0

f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0

f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0

Så ifølge Faktorteorem (x – 1) er en faktor i den gitte ligningen. Nå for å finne de gjenværende faktorene bruk den lange divisjonsmetoden.

I følge Divisjonsalgoritme vi kan skrive,

Så f(x) = x³– 4x²-3x + 6 = (x – 1) (x²– 3x – 6) = 0

⇒ (x – 1) = 0 eller (x²– 3x – 6) = 0

Vi vet at røttene til en andregradsligning øks²+ bx + c = 0 er,

full form av i d e

x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Derfor, for (x²– 3x – 6) = 0

x = [3 ± √(3²– 4(1)(-6)]/2(1)

x = (3 ± √33)/2

Derfor er røttene til den gitte kubikkligningen 1, (3+√33)/2 og (3–√33)/2.

Oppgave 2: Finn røttene til ligningen f(x) = 4x ³ – 10x ² + 4x = 0.

Løsning:

Gitt uttrykk: f(x) = 4x³– 10x²+ 4x = 0

⇒ x (4x²– 10x + 4) = 0

⇒ x (4x²– 8x – 2x + 4) = 0

⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0

⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0

⇒ x = 0 eller 4x – 2 = 0, x – 2 = 0

⇒ x = 0 eller x = 1/2 eller x = 2

Derfor er røttene til den gitte ligningen 0, 1/2 og 2.

Oppgave 3: Finn røttene til ligningen f(x) = x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Løsning:

Gitt uttrykk: f(x) = x³+ 3x²+ x + 3 = 0.

⇒ x²(x + 3) + 1(x + 3) = 0

⇒ (x + 3) (x²+1) = 0

⇒ x + 3 = 0 eller x²+1 = 0

⇒ x = -3, ±i

Så den gitte ligningen har en reell rot, dvs. -3, og to imaginære røtter, dvs. ±i.

Oppgave 4: Finn røttene til ligningen f(x) = x ³ – 7x ² – x + 7 = 0.

Løsning:

Gitt uttrykk,

f(x) = x³– 3x²– 5x + 7 = 0

Faktoriser først ligningen, f(x): x³– 3x²– 5x + 7= 0

Det kan faktoriseres inn i (x-7)(x+1)(x-1) = 0

Etter å ha faktorisert polynomet, kan vi finne røttene ved å likestille hver faktor med null. For eksempel:

skriftstørrelser i lateks

• x – 7 = 0, så x = 7
• x + 1 = 0, så x = -1
• x – 1 = 0, så x = 1

Så røttene til ligningen f(x): x³– 3x²– 5x + 7 = 0 er

• x = 7
• x = -1
• x = 1

Oppgave 5: Finn røttene til ligningen f(x) = x ³ - 6x ² + 11x − 6 = 0, ved å bruke den grafiske metoden.

Løsning:

Gitt uttrykk: f(x) = x³- 6x²+ 11x − 6 = 0.

Erstatt nå tilfeldige verdier for x i grafen for den gitte funksjonen:

x	1	2	3	4	5
f(x)	0	0	0	6	24

Vi kan se at grafen har kuttet X-aksen ved 3 punkter, derfor er det 3 reelle løsninger.

Fra grafen er løsningene: x = 1, x = 2 og x = 3.

Derfor er røttene til den gitte ligningen 1, 2 og 3.

Øv på problemer med å løse kubiske ligninger

Ulike praksisproblemer knyttet til kubikkligninger er lagt til nedenfor. Løs disse problemene for å forstå konseptet Hvordan løse kubikklikning?

P1. Løs kubikkligningen, 3x³+ 2x²– 11x + 7 = 0.

1 av 1000,00

P2. Finn røttene til kubikkligningen, 4x³– 12x²+ 17 = 0.

P3. Løs kubikkligningen, x³+ 4x²– x + 3 = 0 ved bruk av grafisk metode.

P4. Finn tallet som tilfredsstiller, -9x³+ 11x²– 8x + 2 = 0.

Vanlige spørsmål om løsning av kubiske ligninger

1. Hva er kubikklikninger?

Kubiske ligninger er de algebraiske ligningene der den maksimale potensen til en variabel er 3

2. Hvordan faktoriserer du en kubikkligning?

Vi kan faktorisere en kubikkligning på to måter. Først ved å ta et lineært uttrykk felles fra den gitte kubikklikningen, så vil vi ha et lineært og et kvadratisk uttrykk som produkt. Denne kvadratiske ligningen kan faktoriseres ytterligere for å få alle faktorene. Den andre metoden er å finne en null av den gitte kubikklikningen ved å sette tilfeldige verdier. Verdien som vi får verdien av ligningen til å være null vil være en av nullene i den gitte kubikklikningen. Bruk nå faktorsetningen til å danne et lineært uttrykk, la oss si x-a og dele den gitte kubikklikningen med dette uttrykket som vil gi en andregradsligning som kvotient. Denne oppnådde kvadratiske ligningen kan faktoriseres ytterligere for å få alle faktorene.

3. Hvordan løser du en kubikkligning grafisk?

For å løse en kubikkligning grafisk sett tilfeldige verdier for x i den gitte kubikkligningen og løse, vil du få verdiene til y. Plott disse oppnådde verdiene på grafen. Finn koordinatene der grafen skjærer x-aksen. Disse koordinatene er løsningen av kubikkligningen.

4. Kan alle kubikklikninger løses nøyaktig?

Enhver ligning som har oddetall må ha en reell rot. Derfor må en kubikkligning ha minst én reell rot, i motsetning til en kvadratisk ligning der begge røttene kan være imaginære når diskriminanten er mindre enn null.

5. Kan en kubikkligning ha flere løsninger?

Ja, kubikkligninger kan ha flere løsninger ettersom en kubikkligning kan ha opptil tre distinkte reelle røtter.

6. Hva mener du med ligningsgraden?

Den maksimale kraften som variabelen i en ligning har, kalles graden av et polynom.

7. Hva er forskjellen mellom et polynom og en ligning?

Polynom er ganske enkelt en algebraisk ligning der potensen til variabelen er et ikke-negativt heltall. Når dette polynomet likestilles (=) med en numerisk verdi eller et annet polynom, kalles det en ligning.

8. Hva er faktorteoremet for kubiske ligninger?

Faktorteorem sier at hvis r er en rot (løsning) av den kubiske ligningsaksen³+ bx²+ cx + d = 0, så er x – r en faktor i ligningen.

9. Hva om jeg ikke finner eksakte løsninger ved hjelp av formler?

Hvis det virker umulig å finne eksakte løsninger, kan vi bruke numeriske metoder som iterative metoder (f.eks. Newtons metode) for å tilnærme røttene til ligningen.

Lære mer om Newton Raphsons metode .