Trigonometri er en viktig gren av matematikken som omhandler forholdet mellom vinkler og lengder på sidene i en rettvinklet trekant. De seks trigonometriske forholdene eller funksjonene er sinus, cosinus, tangens, cosecant og sekant, og et trigonometrisk forhold er et forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant. Sinus-, cosinus- og tangensfunksjoner er tre viktige trigonometriske funksjoner siden de tre andre, dvs. cosecant-, sekant- og cotangensfunksjoner er de resiproke funksjonene til henholdsvis sinus-, cosinus- og tangensfunksjoner.

• sin θ = Motsatt side/hypotenus
• cos θ = Tilstøtende side/Hypotenuse
• tan θ = Motsatt side/tilliggende side
• cosec θ = Hypotenuse/Motsatt side
• sek θ = Hypotenuse/tilstøtende side
• sprinkelseng θ = Tilstøtende side/Motstående side

Tangentfunksjon er en av de 6 trigonometriske funksjonene som brukes i trigonometriformler .

Innholdsfortegnelse

• Tangent formel
• Noen grunnleggende Tangent-formler
• Tangentfunksjon i form av sinusfunksjon
• Tangentfunksjon i form av cosinusfunksjon
• Tangent-funksjon i form av Cotangent-funksjon
• Tangent-funksjon i form av Cosecant-funksjon
• Tangentfunksjon i form av sekantfunksjon

Tangent formel

Tangent av en vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden på den motsatte siden og lengden på den tilstøtende siden til den gitte vinkelen. Vi skriver en tangentfunksjon som tan. La oss vurdere en rettvinklet trekant XYZ og en av dens spisse vinkler er θ. En motsatt side er den siden som er motsatt av vinkelen θ og den tilstøtende siden er siden som er inntil vinkelen θ.

Nå er tangentformelen for den gitte vinkelen θ,

tan θ = Motsatt side/tilliggende side

Noen grunnleggende Tangent-formler

Tangentfunksjon i kvadranter

Tangentfunksjonen er positiv i første og tredje kvadrant og negativ i andre og fjerde kvadrant.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^stkvadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndkvadrant)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdkvadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thkvadrant)

Tangentfunksjon som en negativ funksjon

Tangentfunksjonen er en negativ funksjon siden tangensen til en negativ vinkel er den negative til en tangens positiv vinkel.

tan (-θ) = – tan θ

Tangentfunksjon i form av sinus- og cosinusfunksjon

Tangentfunksjon i form av sinus- og cosinusfunksjoner kan skrives som,

tan θ = sin θ/cos θ

Vi vet at tan θ = Motsatt side/tilstøtende side

Del nå både telleren og nevneren med hypotenusen

tan θ = (motsatt side/hypotenuse)/(tilstøtende side/hypotenuse)

Vi vet at sin θ = motsatt side/hypotenus

cos θ = tilstøtende side/hypotenuse

Derfor er tan θ = sin θ/cos θ

Tangentfunksjon i form av sinusfunksjon

Tangentfunksjon i form av sinusfunksjonen kan skrives som,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² Jeg)

Vi vet det,

tan θ = sin θ/cos θ

hvor mange frukter er det

Fra de pytagoreiske identitetene har vi,

uten²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²Jeg

cos θ = √(1 – sin²Jeg)

Derfor, tan θ = sin θ/(√1 – sin²Jeg)

Tangentfunksjon i form av cosinusfunksjon

Tangentfunksjon i form av cosinusfunksjonen kan skrives som,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Vi vet det,

tan θ = sin θ/cos θ

Fra de pytagoreiske identitetene har vi,

uten²θ + cos²θ = 1

uten²θ = 1 – cos²Jeg

sin θ = √(1 – cos²Jeg)

Derfor er tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Tangent-funksjon i form av Cotangent-funksjon

Tangentfunksjon i form av cotangensfunksjonen kan skrives som,

tan θ = 1/seng θ

eller

tan θ = barneseng (90° – θ) (eller) barneseng (π/2 – θ)

Tangent-funksjon i form av Cosecant-funksjon

Tangentfunksjon i form av cosecant-funksjonen kan skrives som,

tan θ = 1/√(cosec ² jeg – 1)

Fra de pytagoreiske identitetene har vi,

cosec²θ – barneseng²θ = 1

barneseng²θ = cosec²jeg – 1

barneseng θ = √(kossek²jeg – 1)

Vi vet det,

tan θ = 1/seng θ

Derfor er tan θ = 1/√(cosec²jeg – 1)

Tangentfunksjon i form av sekantfunksjon

Tangentfunksjon når det gjelder sekantfunksjonen kan skrives som,

tan θ = √sek ² jeg – 1

Fra de pytagoreiske identitetene har vi,

sek²θ – altså²θ = 1

tan θ = sek²jeg – 1

Derfor er tan θ = √(sek²jeg – 1)

Tangentfunksjon i form av dobbel vinkel

Tangentfunksjon for en dobbel vinkel er,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² Jeg)

Tangentfunksjon i form av trippelvinkel

Tangentfunksjon for en trippel vinkel er,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² Jeg)

Tangentfunksjon i form av halvvinkel

Tangentfunksjon for en halv vinkel er,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Tangentfunksjon i form av addisjon og subtraksjon av to vinkler

Sum- og differanseformler for en tangentfunksjon er,

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Trigonometrisk forholdstabell

Løst eksempel på Tangent-formler

Eksempel 1: Finn verdien av tan θ hvis sin θ = 2/5 og θ er den første kvadrantvinkelen.

Løsning:

gitt,

• sin θ = 2/5

Fra de pytagoreiske identitetene vi har,

uten²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Siden θ er den første kvadrantvinkelen, er cos θ positiv.

cos θ = √21/5

Vi vet det,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21/21

Så verdien av tan θ når sin θ = 2/5 og θ er i første kvadrant er (2√21) /(21)

Eksempel 2: Finn verdien av tan x hvis sek x = 13/12 og x er den fjerde kvadrantvinkelen.

Løsning:

Gitt, sek x = 13/12

Fra de pytagoreiske identitetene har vi,

sek²x – altså²x = 1

så²x = sek²x – 1= (13/12)²- 1

så²x = (169/144) – 1= 25/144

tan x = ± 5/12

Siden x er den fjerde kvadrantvinkelen, er tan x negativ.

tan x = – 5/12

Derfor, tan x = – 5/12

Eksempel 3: Hvis tan X = 2/3 og tan Y = 1/2, hva er da verdien av tan (X + Y)?

Løsning:

gitt,

tan X = 2/3 og tan Y = 1/2

Vi vet det,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

brun (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Derfor, tan(X + Y) = 7/4

Eksempel 4: Regn ut tangentfunksjonen hvis de tilstøtende og motsatte sidene av en rettvinklet trekant er henholdsvis 4 cm og 7 cm.

Løsning:

konverter strengdato

gitt,

Tilstøtende side = 4 cm

Motsatt side = 7 cm

Vi vet det,

tan θ = Motsatt side/tilliggende side

tan 6 = 7/4 = 1,75

Derfor, tan θ = 1,75

Eksempel 5: En mann ser på et klokketårn i en 60° vinkel til toppen av tårnet, hvis høyde er 100 m. Hva er avstanden mellom mannen og foten av tårnet?

Løsning:

gitt,

Høyde på tårnet = 100 m og θ = 60°

La avstanden mellom mann og foten av tårnet = d

Vi har,

tan θ = Motsatt side/tilliggende side

brun 60° = 100/d

√3 = 100/d [Siden, altså 60° = √3]

d = 100/√3

Derfor er avstanden mellom mannen og foten av tårnet 100/√3

Eksempel 6: Finn verdien av tan θ hvis sin θ = 7/25 og sek θ = 25/24.

Løsning:

gitt,

sin θ = 7/25

sek θ = 25/24

Vi vet det,

sek θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Vi har,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 24/7

Derfor, tan θ = 7/24

Eksempel 7: Finn verdien av tan θ hvis cosec θ = 5/3, og θ er den første kvadrantvinkelen.

Løsning:

Gitt, cosec θ = 5/3

Fra de pytagoreiske identitetene har vi,

string.format java

cosec²θ – barneseng²θ = 1

barneseng²θ = cosec²jeg – 1

barneseng θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

barneseng θ = ±√16/9 = ± 4/3

Siden θ er den første kvadrantvinkelen, er både cotangens og tangentfunksjoner positive.

barneseng θ = 4/3

Vi vet det,

barneseng θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

tan θ = 3/4

Derfor, tan θ = 3/4

Eksempel 8: Finn tan 3θ hvis sin θ = 3/7 og θ er den første kvadrantvinkelen.

Løsning :

Gitt, sin θ = 12/13

Fra de pytagoreiske identitetene vi har,

uten²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Siden θ er den første kvadrantvinkelen, er cos θ positiv.

cos θ = 5/13

Vi vet det,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Derfor er tan θ = 12/5

Nå vet vi at

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)