Trigonometriformler er ligninger som relaterer sidene og vinklene til trekanter. De er avgjørende for å løse et bredt spekter av problemer innen matematikk, fysikk, ingeniørfag og andre felt.

Her er noen av de vanligste typene trigonometriformler:

• Grunnleggende definisjoner: Disse formlene definerer de trigonometriske forholdstallene (sinus, cosinus, tangens, etc.) i form av sidene i en rettvinklet trekant.
• Pythagoras teorem: Denne teoremet relaterer lengden på sidene i en rettvinklet trekant.
• Vinkelforhold: Disse formlene relaterer trigonometriske forhold mellom forskjellige vinkler, for eksempel sum- og differanseformler, dobbelvinkelformler og halvvinkelformler.
• Gjensidige identiteter: Disse formlene uttrykker ett trigonometrisk forhold i form av et annet, for eksempel sin(θ) = 1/coc(θ).
• Enhetssirkel: Enhetssirkelen er en grafisk representasjon av trigonometriske forhold, og den kan brukes til å utlede mange andre formler.
• Sinusloven og cosinusloven: Disse lovene relaterer sidene og vinklene til en hvilken som helst trekant, ikke bare rette trekanter.

Les videre for å lære om forskjellige trigonometriske formler og identiteter, løste eksempler og praksisproblemer.

Innholdsfortegnelse

• Hva er trigonometri?
• Oversikt over trigonometriformel
• Grunnleggende trigonometriske forhold
• Trigonometriske identiteter
• Liste over trigonometriformler

Hva er trigonometri?

Trigonometri er definert som en gren av matematikk som fokuserer på studiet av sammenhenger som involverer lengder og vinkler av trekanter. Trigonometri består av ulike typer problemer som kan løses ved hjelp av trigonometriske formler og identiteter.

Trigonometriske funksjoner

Trigonometriske funksjoner er matematiske funksjoner som relaterer vinklene til en rettvinklet trekant til lengdene på sidene. De har brede bruksområder på tvers av forskjellige felt som fysikk, ingeniørfag, astronomi og mer. De primære trigonometriske funksjonene inkluderer sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant og cosecant.

Oversikt over trigonometriformel

Trigonometriformler er matematiske uttrykk som relaterer vinklene og sidene til en Høyre trekant . Det er 3 sider en rettvinklet trekant er laget av:

• Hypotenus : Dette er den lengste siden i en rettvinklet trekant.
• Vinkelrett/motsatt side : Det er siden som danner en rett vinkel i forhold til den gitte vinkelen.
• Utgangspunkt : Basen refererer til den tilstøtende siden der både hypotenusen og den motsatte siden henger sammen.

Trigonometrisk forhold

Alle trigonometriske forhold, produktidentiteter, halvvinkelformler, dobbelvinkelformler, sum- og differanseidentiteter, kofunksjonsidentiteter, et tegn på forhold i forskjellige kvadranter osv. er kort gitt her for elevene i klassene 9, 10, 11, 12 .

midtbilde i css

Her er listen over formler i trigonometri vi skal diskutere:

• Grunnleggende trigonometriske forholdsformler
• Enhetssirkelformler
• Trigonometriske identiteter

Grunnleggende trigonometriske forhold

Det er 6 forhold i trigonometri. Disse kalles trigonometriske funksjoner. Nedenfor er listen over trigonometriske forhold , inkludert sinus, cosinus, sekant, cosecant, tangens og cotangens.

Enhetssirkelformel i trigonometri

For en enhetssirkel, for hvilken radius er lik 1, Jeg er vinkelen. Verdiene til hypotenusen og basen er lik radiusen til enhetssirkelen.

Hypotenus = tilstøtende side (base) = 1

Forholdet mellom trigonometri er gitt ved:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• barneseng θ = x/y
• sek θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Trigonometriske funksjoner diagram

Trigonometriske identiteter

Forholdet mellom trigonometriske funksjoner uttrykkes via trigonometriske identiteter, noen ganger referert til som trigonometriske identiteter eller trigformler. De forblir sanne for alle reelle tallverdier for de tilordnede variablene i dem.

• Gjensidige identiteter
• Pythagoras identiteter
• Periodisitetsidentiteter (i radianer)
• Even og Odd Angle Formula
• Samfunksjonsidentiteter (i grader)
• Sum og forskjellsidentiteter
• Dobbelvinkelidentiteter
• Formler for omvendt trigonometri
• Trippelvinkelidentiteter
• Halvvinkelidentiteter
• Sum til produktidentiteter
• Produktidentiteter

La oss diskutere disse identitetene i detalj.

Gjensidige identiteter

Alle de gjensidige identitetene oppnås ved å bruke en rettvinklet trekant som referanse. Gjensidige identiteter er som følger:

• cosec θ = 1/sin θ
• sek θ = 1/cos θ
• barneseng θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sek θ
• tan θ = 1/seng θ

Pythagoras identiteter

I følge Pythagoras-teoremet, i en rettvinklet trekant, hvis 'c' er hypotenusen og 'a' og 'b' er de to bena, så er c2 = a2 + b2. Vi kan få pytagoreiske identiteter ved å bruke denne teoremet og trigonometriske forhold. Vi bruker disse identitetene til å konvertere ett trigg-forhold til et annet .

• uten²θ + cos²θ = 1
• 1 + så²θ = sek²Jeg
• 1 + barneseng²θ = cosec²Jeg

Trigonometri formler diagram

Periodisitetsidentiteter (i radianer)

Disse identitetene kan brukes til å forskyve vinklene med π/2, π, 2π, osv. Disse er også kjent som co-funksjons identiteter.

Alle trigonometriske identiteter gjenta seg etter en bestemt periode. Derfor er de sykliske i naturen. Denne perioden for gjentakelse av verdier er forskjellig for forskjellige trigonometriske identiteter.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Her er en tabell som sammenligner de trigonometriske egenskapene i forskjellige kvadranter:

Even og Odd Angle Formula

Even- og Odd-vinkelformlene, også kjent som Even-odd-identiteter, brukes til å uttrykke trigonometriske funksjoner til negative vinkler i form av positive vinkler. Disse trigonometriske formlene er basert på egenskapene til partalls- og oddetallsfunksjoner.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• sek(-θ) = sekθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Samfunksjonsidentiteter (i grader)

Kofunksjonsidentiteter gir oss sammenhengen mellom ulike trigonometriske funksjoner. Kofunksjonene er oppført her i grader:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = sprinkelseng x
• barneseng(90°−x) = brun x
• sek(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sek x

Sum og forskjellsidentiteter

Sum- og differanseidentitetene er formlene som relaterer sinus, cosinus og tangens til summen eller differansen av to vinkler til sinusene, cosinusene og tangentene til de individuelle vinklene.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dobbelvinkelidentiteter

Dobbeltvinkelidentiteter er formlene som uttrykker trigonometriske funksjoner til vinkler som er dobbelt så stor som en gitt vinkel når det gjelder de trigonometriske funksjonene til den opprinnelige vinkelen.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos(2x) = cos²(x) – uten²(x) = [(1 – brun²x)/(1 + brun²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(x)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(x)]
• sek (2x) = sek²x/(2 – sek²x)
• cosec (2x) = (sek x • cosec x)/2

Formler for omvendt trigonometri

Formler for invers trigonometri relaterer seg til de inverse trigonometriske funksjonene, som er inversene til de grunnleggende trigonometriske funksjonene. Disse formlene brukes til å finne vinkelen som tilsvarer et gitt trigonometrisk forhold.

• uten ^-1 (–x) = – synd ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• så ^-1 (–x) = – så ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 x
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 x
• barneseng ^-1 (–x) = π – barneseng ^-1 x

Trippelvinkelidentiteter

Trippelvinkelidentiteter er formler som brukes til å uttrykke trigonometriske funksjoner til trippelvinkler (3θ) i form av funksjonene til enkeltvinkler (θ). Disse trigonometriske formlene er nyttige for å forenkle og løse trigonometriske ligninger der trippelvinkler er involvert.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ x

ekta kapoor skuespiller

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Halvvinkelidentiteter

Halvvinkelidentiteter er de trigonometriske formlene som brukes til å finne sinus, cosinus eller tangens til halvparten av en gitt vinkel. Disse formlene brukes til å uttrykke trigonometriske funksjoner av halvvinkler i form av den opprinnelige vinkelen.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Også,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Sum til produktidentiteter

Sum til produkt-identiteter er de trigonometriske formlene som hjelper oss å uttrykke summer eller forskjeller av trigonometriske funksjoner som produkter av trigonometriske funksjoner.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + koselig = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − koselig = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Produktidentiteter

Produktidentiteter, også kjent som produkt-til-sum-identiteter, er formlene som tillater uttrykk for produkter av trigonometriske funksjoner som summer eller forskjeller av trigonometriske funksjoner.

Disse trigonometriske formlene er utledet fra sum- og differanseformlene for sinus og cosinus.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Liste over trigonometriformler

Tabellen nedenfor består av grunnleggende trigonometriforhold for vinkler som 0°, 30°, 45°, 60° og 90° som vanligvis brukes til å løse problemer.

Løste spørsmål om trigonometriformel

Her er noen løste eksempler på trigonometriformler for å hjelpe deg med å få en bedre forståelse av konseptene.

Spørsmål 1: Hvis cosec θ + cot θ = x, finn verdien av cosec θ – cot θ ved å bruke trigonometriformel.

Løsning:

cosec θ + barneseng θ = x

Vi vet at cosec²θ+ barneseng²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Spørsmål 2: Bruk trigonometriformler og vis at tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Løsning:

Vi har,

L.H.S= tan 10 ° altså 15 ° altså 75 ° altså 80 °

= brun(90-80) ° altså 15 ° brun (90-15) ° altså 80 °

= barneseng 80 ° altså 15 ° barneseng 15 ° altså 80 °

=(sengeseng 80 ° *så 80 ° )( barneseng 15 ° *så 15 ° )

= 1 = R.H.S

Spørsmål 3: Hvis sin θ cos θ = 8, finn verdien av (sin θ + cos θ) ² ved å bruke trigonometriformlene.

Løsning:

(sin θ + cos θ)²

streng understreng java

= uten²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Spørsmål 4: Ved hjelp av trigonometriske formler, bevis at (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Løsning:

L.H.S = (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1)

= [(tan θ + sek θ) – (sek²θ – altså²θ)]/(tan θ – sek θ + 1), [Siden, sek²θ – altså²θ = 1]

konvertere fra char til int java

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + tan θ) (sek θ – tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (1 – sek θ + tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (tan θ – sek θ + 1)}/(tan θ – sek θ + 1)

= tan θ + sek θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Bevist.

Vanlige spørsmål om trigonometriske formler og identiteter

Hva er trigonometri?

Trigonometri er en gren av matematikken som fokuserer på forholdet mellom vinklene og sidene til trekanter, spesielt rettvinklede trekanter.

Hva er tre grunnleggende trigonometriske forhold?

• Sin A = Perpendikulær/ Hypotenus
• Cos A= Base/Hypotenuse
• Tan A= Perpendicular/ Base

Hvilken trekant kan trigonometriske formler brukes på?

Trigonometriske formler gjelder for rettvinklede trekanter.

Hva er de viktigste trigonometriske forholdstallene?

Sinus, Cosinus, Tangent, Cotangent, Secant og Cosecant.

For hvilken vinkel er verdien av brunfargeforholdet lik barnesengforholdet?

For verdien 45°, brun 45°= barneseng 45° = 1.

Hva er formelen for sin3x?

Formel for sin3x er 3sin x – 4 sin³x.