logo

TechCodeview

Trapesformet regel

Den trapesformede regelen er en av de grunnleggende reglene for integrasjon som brukes til å definere den grunnleggende definisjonen av integrasjon. Det er en mye brukt regel og den trapesformede regelen heter slik fordi den gir arealet under kurven ved å dele kurven i små trapeser i stedet for rektangler.

Generelt finner vi arealet under kurven ved å dele arealet i mindre rektangler og deretter finne summen av alle rektanglene, men i trapesregelen er arealet under kurven delt inn i trapeser, og deretter beregnes summen deres. Den trapesformede regelen brukes til å finne verdien av de bestemte integralene i numerisk analyse. Denne regelen kalles også trapesregelen eller trapesregelen. La oss lære mer om trapesregelen, dens formel og bevis, eksempel og andre i detalj i denne artikkelen.

Hva er den trapesformede regelen?

Den trapesformede regelen er en regel som brukes til å finne verdien av det bestemte integralet til formenb∫enf(x) dx. Vi vet at verdien av det bestemte integraletb∫enf(x) dx er arealet innesluttet under kurven y = f(x) og x-aksen i intervallet a og b på x-aksen. Vi beregner dette arealet ved å dele hele arealet i flere små rektangler og deretter finne summen deres.



I den trapesformede regelen, som navnet antyder, er arealet under kurven delt inn i flere trapeser og deretter blir summen funnet for å få arealet av kurven. Den trapesformede regelen gir ikke den beste tilnærmingen av arealet under kurven enn Simpsons regel, men likevel er resultatet presist nok og denne regelen er en mye brukt regel i kalkulus.

Trapesregelformel

Den trapesformede regelformelen er formelen som brukes til å finne arealet under kurven. Nå for å finne området under kurven ved å bruke den trapesformede regelen,

La y = f(x) være en kontinuerlig kurve definert på det lukkede intervallet [a, b]. Nå deler vi det lukkede intervallet [a, b] i n like delintervaller, der hver har bredden på,

Δx = (b – a)/n

Slik at,

a = x0 1 2<⋯ < xn= b

Ved å bruke den trapesformede regelformelen kan vi finne arealet under kurven som,

∫benf(x) dx = Areal under kurven = (Δx/2) [y0+ 2 (og1+ og2+ og3+ ….. + ogn-1) + yn]

hvor, y0, og1, og2,…. ogner verdiene til funksjon ved henholdsvis x = 1, 2, 3, ….., n.

Avledning av trapesregelformel

Trapesregelformelen for å beregne arealet under kurven er utledet ved å dele arealet under kurven i flere trapeser og deretter finne summen deres.

Uttalelse:

La f(x) være en kontinuerlig funksjon definert på intervallet (a, b). Nå deler vi intervallene (a, b) i n like delintervaller der bredden på hvert intervall er,

Δx = (b – a)/n

slik at a = x0 1 2 3<…..< xn= b

Da er formelen for trapesregelen,

∫benf(x) dx ≈ △x/2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) +….2f(xn-1) + f(xn)]

hvor, xJeg= a + i△x

Hvis n → ∞, gir R.H.S til uttrykket det bestemte integralet int_{a}^{b}f(x) dx

Bevis:

Denne formelen bevises ved å dele arealet under den gitte kurven som vist i figuren ovenfor i forskjellige trapeser. Den første trapesen har en høyde Δx og lengden på parallelle baser er f(x0) og f(x1)

Arealet til den første trapesen = (1/2) Δx [f(x0) + f(x1)]

På samme måte er arealet til de gjenværende trapesene (1/2)Δx [f(x1) + f(x2)], (1/2)Δx [f(x2) + f(x3)], og så videre.

Nå kan vi si at

∫benf(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x0)+f(x1) ) + (1/2)Δx (f(x1)+f(x2) ) + (1/2)Δx (f(x2)+f(x3) ) + … + (1/2)Δx (f(xn-1) + f(xn) )

Etter å ha forenklet får vi,

∫benf(x) dx≈ (Δx/2) (f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2)+2 f(x3)+ … +2f(xn-1) + f(xn))

Dermed er trapesregelen bevist.

Hvordan bruke trapesregel?

Trapesregelen finner arealet under kurven ved å dele arealet under kurven i ulike trapeser og deretter finne summen av alle trapesene. Den trapesformede regelen er ikke den perfekte tilnærmingen til verdien av det bestemte integralet, da den bruker den kvadratiske tilnærmingen.

Vi må finne verdien av det bestemte integralet, ∫benf(x) dx. Verdien av det bestemte integralet kan beregnes ved å bruke trapesregelen ved å følge trinnene nedenfor,

Trinn 1: Merk verdien av delintervallene, n og intervallene a og b.

Steg 2: Finn bredden på delintervallet (△x) ved å bruke formelen △x = (b – a)/n

hvordan skrive ut java

Trinn 3: Sett alle verdiene i den trapesformede regelformelen og finn det omtrentlige arealet av den gitte kurven som representerer det bestemte integralet ∫benf(x) dx

∫ b en f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x 0 )+2 f(x 1 )+2 f(x 2 )+2 f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x n ))

hvor, x Jeg = a + i△x

Summasjonsnotasjon av trapesregel

Vi vet at arealet til en trapes i utgangspunktet er gjennomsnittet av lengdene på de parallelle sidene multiplisert med høyden. Så, i dette tilfellet, vurder en trapes for ithintervall,

A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Siden det totale arealet er summen av alle arealene,

A = A1+ A2+ ….+ An

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Dette kalles sigma-notasjon eller summeringsnotasjon av trapessummene.

Riemann Sums

Riemann oppsummerer arbeidet med ideen om å dykke området under kurven i forskjellige rektangulære deler. Etter hvert som antallet rektangler øker, blir området nærmere og nærmere det gjeldende området. I figuren vist nedenfor er det en funksjon f(x). Arealet under denne funksjonen er delt inn i mange rektangler. Det totale arealet under kurven er summen av arealene til alle rektanglene.

Riemann Sums (høyre)

Legg merke til at i figuren ovenfor berører den høyre enden av rektanglene kurven. Dette kalles høyre-Riemann-summer.

I et annet tilfelle, når venstre ende av rektanglene berører kurven som vist på bildet nedenfor, kalles de venstre Riemann-summer.

Riemann Sums (venstre)

La oss si at Δx er bredden på intervallbredden n er antall intervaller som angitt ovenfor. Da er arealet av kurven representert av summen gitt av,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}

Midtpunktsummer

I Riemann-summene berører enten venstre ende eller høyre ende av rektangelet kurven. I dette tilfellet berører rektangelets midtpunkt kurven. Alt annet er det samme som Riemann summerer. Figuren under viser funksjonen f(x) og ulike rektangler i midtpunktsummer.

Midtpunktsummer

La oss si AJegangir området til ithrektangel. Arealet av dette rektangelet vil i dette tilfellet være,

A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x

Nå vil det totale arealet i summeringsnotasjonen gis av,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}

Les mer,

Løst eksempel på trapesregel

Eksempel 1: Finn arealet omsluttet av funksjonen f(x) mellom x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

f(x) = 4

Løsning:

Her er a = 0, b = 4 og n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapesformede regelen for n = 4 er,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Ved å erstatte verdiene i denne ligningen,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16

Eksempel 2: Finn arealet omsluttet av funksjonen f(x) mellom x = 0 til x = 3 med 3 intervaller.

f(x) = x

Løsning:

Her er a = 0, b = 3 og n = 3.

preg_match

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapesformede regelen for n = 3 er,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Ved å erstatte verdiene i denne ligningen,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Høyrepil T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6

Eksempel 3: Finn arealet omsluttet av funksjonen f(x) mellom x = 0 til x = 2 med 2 intervaller.

f(x) = 2x

Løsning:

Her er a = 0, b = 2 og n = 2.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapesformede regelen for n = 2 er,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))

Ved å erstatte verdiene i denne ligningen,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Høyrepil T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4

Eksempel 4: Finn arealet omsluttet av funksjonen f(x) mellom x = 0 til x = 3 med 3 intervaller.

f(x) = x 2

Løsning:

Her er a = 0, b = 3 og n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapesformede regelen for n = 3 er,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Ved å erstatte verdiene i denne ligningen,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14

Eksempel 5: Finn arealet omsluttet av funksjonen f(x) mellom x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

f(x) = x 3 + 1

Løsning:

Her er a = 0, b = 4 og n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapesformede regelen for n = 4 er,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Ved å erstatte verdiene i denne ligningen,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Høyrepil T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72

Eksempel 6: Finn arealet omsluttet av funksjonen f(x) mellom x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

f(x) = e x

Løsning:

Her er a = 0, b = 4 og n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Den trapesformede regelen for n = 4 er,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Ved å erstatte verdiene i denne ligningen,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}

Anvendelser av trapesregelen

Numerisk integrasjon:

Den primære anvendelsen av trapesregelen er å tilnærme bestemte integraler. Den brukes når integreringen av en funksjon er utfordrende, og en numerisk tilnærming er mer mulig. Trapesregelen er ofte en del av mer avanserte numeriske integreringsteknikker.

Fysikk og ingeniørfag:

I fysikk og ingeniørfag kan trapesregelen brukes for å beregne størrelser som forskyvning, hastighet og akselerasjon. For eksempel, når eksperimentelle data samles inn med diskrete tidsintervaller, kan trapesregelen brukes til å estimere arealet under kurven, og gir en tilnærming av integralet.

Økonomi og finans:

Den trapesformede regelen kan brukes i finansiell modellering for å estimere nåverdien av fremtidige kontantstrømmer. Dette er spesielt nyttig i analyser av diskontert kontantstrøm (DCF), hvor målet er å beregne netto nåverdi av en investering.

Statistikk:

I statistikk kan trapesregelen brukes til å estimere arealet under sannsynlighetstetthetsfunksjoner eller kumulative fordelingsfunksjoner. Dette er spesielt nyttig i tilfeller der den nøyaktige formen for distribusjonen er ukjent eller kompleks.

Vanlige spørsmål om trapesregel

Q1: Hva er trapesregel?

Svar:

Trapesregelen er regelen som brukes for å finne det bestemte integralet den deler arealet under kurven i flere trapeser og deretter blir deres individuelle areal funnet og så beregnes summen for å få verdien av det bestemte integralet.

Q2: Hva er den trapesformede regelformelen?

Svar:

Den trapesformede regelformelen er,

∫ b en f(x) dx = (Δx/2) (f(x 0 )+2 f(x 1 )+2 f(x 2 )+2 f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x n ))

Spørsmål 3: Hvorfor kalles det trapesregelformel?

Svar:

Trapesregelformel kalles trapesregelen fordi den deler arealet under kurven i flere trapeser og deretter beregnes arealet deres ved å finne summen av trapesene.

Spørsmål 4: Hva er forskjellen mellom trapesregel og Riemanns sumregel?

Svar:

Den største forskjellen mellom trapesregelen og Riemann Sums-regelen er at den trapesformede regelen deler arealet under kurven som trapesene og deretter finner arealet ved å ta summen deres, mens Riemann Sums deler arealet under kurven som trapes og finner deretter området ved å ta summen deres.