Trigonometrisk substitusjon er en av substitusjonsmetodene for integrasjon hvor en funksjon eller et uttrykk i det gitte integralet erstattes med trigonometriske funksjoner som sin, cos, tan osv. Integrasjon ved substitusjon er den enkleste substitusjonsmetoden.

Det brukes når vi gjør en substitusjon av en funksjon, hvis deriverte allerede er inkludert i den gitte integralfunksjonen. Ved dette blir funksjonen forenklet, og enkel integralfunksjon oppnås som vi enkelt kan integrere. Det er også kjent som u-substitusjon eller omvendt kjederegel. Eller med andre ord, ved hjelp av denne metoden kan vi enkelt evaluere integraler og antiderivater.

Trigonometrisk substitusjon

Hva er trigonometrisk substitusjon?

Trigonometrisk substitusjon er en prosess der substitusjonen av en trigonometrisk funksjon til et annet uttrykk finner sted. Det brukes til å evaluere integraler eller det er en metode for å finne antiderivater av funksjoner som inneholder kvadratrøtter av kvadratiske uttrykk eller rasjonelle potenser av formenfrac{p}{2} (hvor p er et heltall) av kvadratiske uttrykk. Eksempler på slike uttrykk er

({x^2+4})^frac{3}{2} ellersqrt{25-x^2} eller osv.

Metoden for trigonometrisk substitusjon kan bli brukt når andre mer vanlige og lettere å bruke metoder for integrering har mislyktes. Trigonometrisk substitusjon forutsetter at du er kjent med standard trigonometriske identiteter, bruk av differensialnotasjon, integrasjon ved bruk av u-substitusjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Her vil vi diskutere noen viktige formler avhengig av funksjonen vi trenger for å integrere, vi erstatter ett av følgende trigonometriske uttrykk for å forenkle integrasjonen:

∫cosx dx = sinx + C

objektlikhet i java

∫sinx dx = −cosx + C

∫sek²x dx = tanx + C

∫kossek²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = sekx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|sekx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Les i detalj: Regning i matematikk

Når skal man bruke trigonometrisk substitusjon?

Vi bruker trigonometrisk substitusjon i følgende tilfeller,

Hvordan bruke trigonometrisk substitusjonsmetode?

Vi kan bruke den trigonometriske substitusjonsmetoden som diskutert nedenfor,

Integrert med en²– x²

La oss vurdere et eksempel på integralet som involverer en²– x².

Eksempel: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

La oss sette, x = en sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Dermed er jeg =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ jeg =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ jeg =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Som, x = en sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ jeg =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral med x ² + a ²

La oss vurdere et eksempel på integralet som involverer x²+ a².

Eksempel: Finn integralet old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

La oss sette x = en tanθ

⇒ dx = a sek2θ dθ, får vi

Dermed er jeg =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ jeg =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ jeg =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ jeg =frac{1}{a} heta + c

Som, x = en tanθ

boble sortering

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ jeg =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrert med en ² + x ² .

La oss vurdere et eksempel på integralet som involverer en²+ x².

Eksempel: Finn integralet av old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

La oss si, x = en tanθ

⇒ dx = et sek²θ dθ

Dermed er jeg =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ jeg =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ jeg =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ jeg =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ jeg =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ jeg =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ jeg =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ jeg =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ jeg =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ jeg =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ jeg =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integrert med x ² – a ² .

La oss vurdere et eksempel på integralet som involverer x²– a².

Eksempel: Finn integralet av old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

La oss sette, x = a sekθ

⇒ dx = a sekθ tanθ dθ

Dermed er jeg =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ jeg =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ jeg =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ jeg =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ jeg =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ jeg =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ jeg =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ jeg =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ jeg = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ jeg =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Les mer,

• Integrasjonsformler
• Integrasjon ved substitusjon
• Integrasjon etter deler

Prøveproblemer på trigonometrisk substitusjon

Oppgave 1: Finn integralet til old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Tar 5 felles i nevneren,

⇒ jeg =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ jeg =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

I følge teorem 1, a =frac{3}{5}

⇒ jeg =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

tilkoblinger i java

⇒ jeg =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Oppgave 2: Finn integralet til old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Tar √2 felles i nevneren,

⇒ jeg = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ jeg =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

I følge teorem 1 er a = 2

⇒ jeg =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ jeg =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Oppgave 3: Finn integralet til old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Ved å omorganisere får vi

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Her tar a = 3 og x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Ved å erstatte disse verdiene,

jeg =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ jeg =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ jeg =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

La oss ta,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Ved å erstatte disse verdiene får vi

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ og x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ i =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ i =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Derfor er I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Oppgave 4: Finn integralet til old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Tar 9 felles i nevneren,

jeg =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ jeg =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

global var i js

I følge teorem 2, a =frac{2}{3}

⇒ jeg =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ jeg =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Oppgave 5: Finn integralet til old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Tar 4 felles i nevneren,

jeg =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ jeg =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

I følge teorem 3, a =frac{5}{4}

⇒ jeg =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ jeg =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ jeg =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

git status -s

⇒ jeg =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Oppgave 6: Finn integralet til old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Løsning:

Tar 2 felles i nevneren,

jeg =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

jeg =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

I følge teorem 4, a =frac{3}{2}

jeg =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

jeg =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

jeg =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

jeg =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

jeg =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Oppgave 7: Finn integralet til old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Løsning:

Etter omorganisering får vi

jeg =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

jeg =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

jeg =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

jeg =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

I følge teoremet 2 har vi

x = x-frac{1}{2} og en =frac{sqrt{3}}{2}

jeg =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

jeg =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrisk substitusjon – vanlige spørsmål

Hva er trigonometrisk substitusjon?

Trigonometrisk substitusjon er integrasjonsteknikk som brukes til å løse integraler som involverer uttrykk med radikaler og kvadratrøtter som √(x)²+ a²), √(a²+ x²), og √(x²– a²).

Når bør jeg bruke trigonometrisk substitusjon?

Trigonometrisk substitusjon er nyttig når du har et integral som involverer et radikalt uttrykk, spesielt når det radikale uttrykket inneholder en kvadratisk term.

Hva er de tre trigonometriske substitusjonene som vanligvis brukes i integraler?

De tre vanlige trigonometriske substitusjonene er:

• Erstatt x = a sin θ når det radikale uttrykket inneholder et ledd på formen a²– x².
• Erstatt x = en tan θ når det radikale uttrykket inneholder et ledd på formen x²– a².
• Erstatt x = a sek θ når det radikale uttrykket inneholder et ledd på formen x²+ a².

Hvordan velger noen hvilken trigonometrisk substitusjon som skal brukes?

Du bør velge den trigonometriske substitusjonen basert på formen til det radikale uttrykket. Hvis det radikale uttrykket inneholder et ledd på formen a^2 – x^2, bruk x = a sin θ. Hvis det radikale uttrykket inneholder et ledd på formen x^2 – a^2, bruk x = en tan θ. Hvis det radikale uttrykket inneholder et ledd på formen x^2 + a^2, bruk x = a sek θ.