Vektorprojeksjon er skyggen av en vektor over en annen vektor. Projeksjonsvektoren oppnås ved å multiplisere vektoren med Cos for vinkelen mellom de to vektorene. En vektor har både størrelse og retning. To vektorer sies å være like hvis de har samme størrelse og retning. Vektorprojeksjon er avgjørende for å løse numerisk i fysikk og matematikk.

I denne artikkelen vil vi lære om hva som er vektorprojeksjon, vektorprojeksjonsformeleksemplet, vektorprojeksjonsformelen, vektorprojeksjonsformelavledning, vektorprojeksjonsformel lineær algebra, vektorprojeksjonsformel 3d og noen andre relaterte konsepter i detalj.

Innholdsfortegnelse

• Hva er vektorprojeksjon?
• Vektorprojeksjonsformel
• Vektorprojeksjonsformelavledning
• Eksempler på vektorprojeksjonsformel
• Praktiske anvendelser og betydningen av vektorprojeksjon
• Eksempler på problemløsning i den virkelige verden på vektorprojeksjon

Hva er vektorprojeksjon?

Vektorprojeksjon er en metode for å rotere en vektor og plassere den på en andre vektor. Derfor oppnås en vektor når en vektor er løst opp i to komponenter, parallelle og vinkelrette. Den parallelle vektoren kalles projeksjonsvektoren. Dermed er vektorprojeksjonen lengden på skyggen til en vektor over en annen vektor.

Vektorprojeksjonen av en vektor oppnås ved å multiplisere vektoren med Cos for vinkelen mellom de to vektorene. La oss si at vi har to vektorer 'a' og 'b' og vi må finne projeksjonen av vektoren a på vektor b, så vil vi multiplisere vektoren 'a' med cosθ der θ er vinkelen mellom vektor a og vektor b.

Vektorprojeksjonsformel

Hvisvec Aer representert som A ogvec Ber representert som B, er vektorprojeksjonen av A på B gitt som produktet av A med Cos θ hvor θ er vinkelen mellom A og B. Den andre formelen for vektorprojeksjon av A på B er gitt som produktet av A og B. B delt på størrelsen på B. Projeksjonsvektoren som er oppnådd så er et skalært multiplum av A og har en retning i retning B.

Vektorprojeksjonsformelavledning

Vektorprojeksjonsformelavledningen er diskutert nedenfor:

La oss anta, OP =vec Aog OQ =vec Bog vinkelen mellom OP og OQ er θ. Tegnet PN vinkelrett på OQ.

I den høyre trekanten OPN er Cos θ = PÅ/OP

⇒ PÅ = PÅ Cos θ

⇒ PÅ = |vec A| Cos θ

ON er projeksjonsvektoren tilvec Apåvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

np.histogram

⇒ PÅ =frac{vec A.vec B}

Derfor er PÅ =|vec A|.hat B

Dermed vektorprojeksjonen avvec Apåvec Ber gitt somfrac{vec A.vec B}

vektorprojeksjonen avvec Bpåvec Aer gitt somfrac{vec A.vec B}

generell beskyttelsesfeil

Sjekk også: Typer av vektorer

Vektorprojeksjon Viktige vilkår

For å finne vektorprojeksjonen må vi lære å finne vinkelen mellom to vektorer og også å beregne prikkproduktet mellom to vektorer.

Vinkel mellom to vektorer

Vinkelen mellom de to vektorene er gitt som inversen av cosinus til punktproduktet til to vektorer delt på produktet av størrelsen til to vektorer.

La oss si at vi har to vektorervec Aogvec Bvinkelen mellom dem er θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Punktprodukt av to vektorer

La oss si at vi har to vektorervec Aogvec Bdefinert somvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kogvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k da er prikkprodukt mellom dem gitt som

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Relatert artikkel:

• Vektor tillegg
• Enhetsvektor
• Vektor algebra
• Lineær algebra

Eksempler på vektorprojeksjonsformel

Eksempel 1. Finn projeksjonen av vektor 4hat i + 2hat j + hat k på 5hat i -3hat j + 3hat k .

Løsning:

Her,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Vi vet, projeksjon av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

alfabet etter tall

Eksempel 2. Finn projeksjonen av vektor 5hat i + 4hat j + hat k på 3hat i + 5hat j – 2hat k

Løsning:

Her,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Vi vet, projeksjon av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Eksempel 3. Finn projeksjonen av vektoren 5hat i – 4hat j + hat k på 3hat i – 2hat j + 4hat k

Løsning:

Her,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Vi vet, projeksjon av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Eksempel 4. Finn projeksjonen av vektoren 2hat i – 6hat j + hat k på 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Løsning:

Her,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Vi vet, projeksjon av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Eksempel 5. Finn projeksjonen av vektoren 2hat i – hat j + 5hat k på 4hat i – hat j + hat k .

Løsning:

Her,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

hvordan konvertere char til string java

Vi vet, projeksjon av vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Kryss av: Vektoroperasjoner

Praktiske anvendelser og betydningen av vektorprojeksjon

Fysikk

• Tving nedbrytning : I fysikk er vektorprojeksjonsformelen avgjørende for å dekomponere krefter til komponenter parallelt og vinkelrett på overflater. For å forstå kraften som utøves av et tau i et tautrekkingsspill krever for eksempel å projisere kraftvektoren i tauretningen.

• Arbeidsberegning : Arbeidet utført av en kraft under forskyvning beregnes ved hjelp av vektorprojeksjon. Verket er prikkproduktet av kraftvektoren og forskyvningsvektoren, som i hovedsak projiserer en vektor på en annen for å finne kraftkomponenten i forskyvningsretningen.

Engineering

• Struktur analyse : Ingeniører bruker vektorprojeksjon for å analysere spenninger på komponenter. Ved å projisere kraftvektorer på strukturelle akser, kan de bestemme spenningskomponentene i forskjellige retninger, og hjelpe til med utformingen av sikrere og mer effektive strukturer.

• Fluid Dynamics : I væskedynamikk hjelper vektorprojeksjon med å analysere væskestrøm rundt objekter. Ved å projisere hastighetsvektorer av væske på overflater, kan ingeniører studere strømningsmønstre og krefter, avgjørende for aerodynamisk design og hydraulikkteknikk.

Data-grafikk

• Gjengivelsesteknikker : Vektorprojeksjon er grunnleggende i datagrafikk for å gjengi skygger og refleksjoner. Ved å projisere lysvektorer på overflater, beregner grafikkprogramvare vinklene og intensiteten til skygger og refleksjoner, og forbedrer realismen i 3D-modeller.

• Animasjon og spillutvikling : I animasjon brukes vektorprojeksjon til å simulere bevegelser og interaksjoner. For eksempel, å bestemme hvordan en karakter beveger seg over ujevnt terreng innebærer å projisere bevegelsesvektorer på terrengoverflaten, noe som gir realistiske animasjoner.

Kryss av: Basisvektorer i lineær algebra

Eksempler på problemløsning i den virkelige verden på vektorprojeksjon

Eksempel 1: GPS-navigasjon

• Kontekst : I GPS-navigasjonssystemer brukes vektorprojeksjon til å beregne den korteste veien mellom to punkter på jordens overflate.
• applikasjon : Ved å projisere forskyvningsvektoren mellom to geografiske steder på jordens overflatevektor, kan GPS-algoritmer nøyaktig beregne avstander og retninger, og optimalisere reiseruter.

Eksempel 2: Sports Analytics

• Kontekst : I sportsanalyse, spesielt i fotball eller basketball, hjelper vektorprojeksjon med å analysere spillerbevegelser og ballbaner.
• applikasjon : Ved å projisere bevegelsesvektorene til spillere på spillefeltet eller banen, kan analytikere studere mønstre, hastigheter og effektivitet av bevegelser, og bidra til strategisk planlegging og ytelsesforbedring.

Eksempel 3: Fornybar energiteknikk

• Kontekst : I utformingen av vindturbiner er forståelse av vindkraftkomponentene avgjørende for å optimalisere energiproduksjonen.
• applikasjon : Ingeniører projiserer vindhastighetsvektorer på planet til turbinbladene. Denne analysen hjelper til med å bestemme den optimale vinkelen og orienteringen til bladene for å maksimere fangsten av vindenergi.

Eksempel 4: Augmented Reality (AR)

• Kontekst : I utvidet virkelighetsapplikasjoner brukes vektorprojeksjon til å plassere virtuelle objekter nøyaktig i virkelige rom.
• applikasjon : Ved å projisere vektorer fra virtuelle objekter til virkelige fly fanget av AR-enheter, kan utviklere sikre at virtuelle objekter samhandler realistisk med miljøet, og forbedrer brukeropplevelsen.

Kryss av: Komponenter av Vector

Vanlige spørsmål om vektorprojeksjon

Definer projeksjonsvektor.

Projeksjonsvektor er skyggen av en vektor på en annen vektor.

Hva er vektorprojeksjonsformelen?

Formel for projeksjon av vektor er gitt somfrac{vec A.vec B}

Hvordan finne projeksjonsvektor?

Projeksjonsvektor finnes ved å beregne punktproduktet av de to vektorene delt på skyggen som kastes på.

Hva er konsepter som kreves for å beregne projeksjonsvektor?

Vi trenger å vite vinkelen mellom to vektorer og punktproduktet til to vektorer for å beregne vektorprojeksjon.

Hvor brukes projeksjonsvektor?

Projeksjonsvektor brukes til å løse ulike numeriske fysikk som krever at vektormengden deles inn i dens komponenter.

Hva er betydningen av vektorprojeksjon i fysikk?

I fysikk er vektorprojeksjon avgjørende for å dekomponere krefter, beregne arbeid utført av en kraft i en bestemt retning og analysere bevegelse. Det hjelper å forstå hvordan ulike komponenter i en vektor bidrar til effekter i ulike retninger.

Kan vektorprojeksjon være negativ?

Ja, skalarkomponenten til en vektorprojeksjon kan være negativ hvis vinkelen mellom de to vektorene er større enn 90 grader, noe som indikerer at projeksjonen går i motsatt retning av basisvektoren.

Hvordan brukes vektorprojeksjon i engineering?

Ingeniører bruker vektorprojeksjon for å analysere strukturelle spenninger, optimalisere design ved å dekomponere krefter til håndterbare komponenter, og i væskedynamikk for å studere strømningsmønstre mot overflater.

Hva er forskjellen mellom skalar og vektorprojeksjon?

Skalarprojeksjon gir størrelsen på en vektor langs retningen til en annen og kan være positiv eller negativ. Vektorprojeksjon, på den annen side, vurderer ikke bare størrelsen, men gir også retningen til projeksjonen som en vektor.

Hva er virkelige applikasjoner for vektorprojeksjon?

Vektorprojeksjon har applikasjoner innen GPS-navigasjon, sportsanalyse, datagrafikk for å gjengi skygger og refleksjoner, og i utvidet virkelighet for å plassere virtuelle objekter i virkelige rom.