Når du har den kvadratiske formelen og det grunnleggende om kvadratiske ligninger nede, er det på tide for neste nivå i forholdet ditt til parabler: lære om deres toppunktform .

Les videre for å lære mer om parabelens toppunktform og hvordan du konverterer en kvadratisk ligning fra standardform til toppunktform.

funksjonsbildekreditt: SBA73 /Flickr

Hvorfor er Vertex Form nyttig? Et overblikk

De toppunktform av en ligning er en alternativ måte å skrive ut ligningen til en parabel.

Normalt vil du se en kvadratisk ligning skrevet som $ax^2+bx+c$, som, når den er tegnet, vil være en parabel. Fra dette skjemaet er det lett nok å finne røttene til ligningen (der parabelen treffer $x$-aksen) ved å sette ligningen lik null (eller bruke den kvadratiske formelen).

Hvis du trenger å finne toppunktet til en parabel, er standard kvadratisk form mye mindre nyttig. I stedet vil du konvertere kvadratisk ligning til toppunktform.

Hva er Vertex Form?

Mens standard kvadratisk form er $ax^2+bx+c=y$, toppunktet for en kvadratisk ligning er $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

I begge former er $y$ $y$-koordinaten, $x$ er $x$-koordinaten, og $a$ er konstanten som forteller deg om parabelen vender opp ($+a$) eller ned ($-a$). (Jeg tenker på det som om parabelen var en bolle med eplemos; hvis det er en $+a$, kan jeg legge til eplemos i bollen; hvis det er en $-a$, kan jeg riste eplemosen ut av bollen.)

Forskjellen mellom en parabels standardform og toppunktform er at toppunktet til ligningen også gir deg parabelens toppunkt: $(h,k)$.

Ta for eksempel en titt på denne fine parabelen, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Basert på grafen ser parabelens toppunkt ut til å være noe sånt som (-1,5,-2), men det er vanskelig å si nøyaktig hvor toppunktet er bare fra grafen alene. Heldigvis, basert på ligningen $y=3(x+4/3)^2-2$, vet vi at toppunktet til denne parabelen er $(-4/3,-2)$.

Hvorfor er toppunktet $(-4/3,-2)$ og ikke $(4/3,-2)$ (annet enn grafen, som gjør det tydelig både $x$- og $y$-koordinatene til toppunktet er negativt)?

Huske: i toppunktformlikningen trekkes $h$ fra og $k$ legges til . Hvis du har en negativ $h$ eller en negativ $k$, må du sørge for at du trekker fra den negative $h$ og legger til den negative $k$.

I dette tilfellet betyr dette:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

og så toppunktet er $(-4/3,-2)$.

Du bør alltid dobbeltsjekke dine positive og negative fortegn når du skriver ut en parabel i toppunktform , spesielt hvis toppunktet ikke har positive $x$- og $y$-verdier (eller for dere kvadranthoder der ute, hvis det ikke er i kvadrant I ). Dette ligner på sjekken du ville gjort hvis du løste den kvadratiske formelen ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) og trengte for å sikre at du beholdt positive og negativer rett for $a$s, $b$s og $c$s.

Nedenfor er en tabell med ytterligere eksempler på noen få andre parabola toppunktformlikninger, sammen med deres toppunkter. Legg spesielt merke til forskjellen i $(x-h)^2$-delen av parabelens toppunkt fra ligningen når $x$-koordinaten til toppunktet er negativ.

Hvordan konvertere fra standard kvadratisk form til vertexform

Mesteparten av tiden når du blir bedt om å konvertere kvadratiske ligninger mellom forskjellige former, vil du gå fra standardform ($ax^2+bx+c$) til toppunktform ($a(x-h)^2+k$ ).

Prosessen med å konvertere ligningen fra standard kvadratisk til toppunktform innebærer å utføre et sett med trinn som kalles å fullføre kvadratet. (For mer om å fullføre torget, les denne artikkelen.)

La oss gå gjennom et eksempel på å konvertere en ligning fra standardform til toppunktform. Vi starter med ligningen $y=7x^2+42x-3/14$.

Det første du vil gjøre er å flytte konstanten, eller termen uten en $x$ eller $x^2$ ved siden av. I dette tilfellet er konstanten vår $-3/14$. (Vi vet det er negativ $3/14$ fordi standard andregradsligningen er $ax^2+bx+c$, ikke $ax^2+bx-c$.)

Først tar vi $-3/14$ og flytter den over til venstre side av ligningen:

$y+3/14=7x^2+42x$

Det neste trinnet er å faktorisere 7 ($a$-verdien i ligningen) fra høyre side, slik:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Flott! Denne ligningen ser mye mer ut som toppunktform, $y=a(x-h)^2+k$.

På dette tidspunktet tenker du kanskje: 'Alt jeg trenger å gjøre nå er å flytte $3/14$ tilbake til høyre side av ligningen, ikke sant?' Akk, ikke så fort.

Hvis du tar en titt på en del av ligningen innenfor parentesen, vil du legge merke til et problem: den er ikke i form av $(x-h)^2$. Det er for mange $x$s! Så vi er ikke helt ferdige enda.

Det vi trenger å gjøre nå er den vanskeligste delen – å fullføre plassen.

La oss se nærmere på $x^2+6x$-delen av ligningen. For å faktorisere $(x^2+6x)$ til noe som ligner $(x-h)^2$, må vi legge til en konstant på innsiden av parentesen – og vi må huske å legge den konstanten til den andre siden av ligningen også (siden ligningen må holde seg balansert).

For å sette opp dette (og sørge for at vi ikke glemmer å legge konstanten til den andre siden av ligningen), skal vi lage et tomt rom der konstanten vil gå på hver side av ligningen:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Legg merke til at på venstre side av ligningen sørget vi for å inkludere vår $a$-verdi, 7, foran plassen der konstanten vår vil gå; Dette er fordi vi ikke bare legger konstanten til høyre side av ligningen, men vi multipliserer konstanten med det som er på utsiden av parentesen. (Hvis $a$-verdien din er 1, trenger du ikke bekymre deg for dette.)

Det neste trinnet er å fullføre torget. I dette tilfellet er kvadratet du fullfører ligningen innenfor parentesen – ved å legge til en konstant, gjør du den om til en ligning som kan skrives som en kvadrat.

For å beregne den nye konstanten, ta verdien ved siden av $x$ (6, i dette tilfellet), del den på 2 og kvadrere den.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstanten er 9.

Grunnen til at vi halverer 6 og kvadrat er at vi vet at i en ligning på formen $(x+p)(x+p)$ (som er det vi prøver å komme til), $px+px= 6x$, så $p=6/2$; for å få konstanten $p^2$, må vi dermed ta $6/2$ (vår $p$) og kvadrere den.

Erstatt nå det tomme rommet på hver side av ligningen vår med konstanten 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Faktorer deretter ligningen innenfor parentesen. Fordi vi fullførte kvadratet, vil du kunne faktorisere det som $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Siste trinn: flytt verdien som ikke er $y$ fra venstre side av ligningen tilbake til høyre side:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Gratulerer! Du har konvertert ligningen fra standard kvadratisk til toppunktform.

Nå vil de fleste problemer ikke bare be deg om å konvertere ligningene dine fra standardform til toppunktform; de vil at du faktisk skal gi koordinatene til toppunktet til parabelen.

For å unngå å bli lurt av fortegnsendringer, la oss skrive ut den generelle toppunktformlikningen rett over toppunktformligningen vi nettopp beregnet:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Og så kan vi enkelt finne $h$ og $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Toppunktet til denne parabelen er ved koordinatene $(-3,-{885/14})$.

Huff, det var mange stokkende tall rundt! Heldigvis er det mye enklere å konvertere ligninger i den andre retningen (fra toppunkt til standardform).

Hvordan konvertere fra Vertex Form til Standard Form

Konvertering av ligninger fra toppunktet til den vanlige kvadratiske formen er en mye mer enkel prosess: alt du trenger å gjøre er å multiplisere ut toppunktet.

La oss ta vår eksempelligning fra tidligere, $y=3(x+4/3)^2-2$. For å gjøre dette til standardform, utvider vi bare høyre side av ligningen:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Du har konvertert $y=3(x+4/3)^2-2$ til $ax^2+bx+c$-formen.

Praksis for parabelvertexform: Eksempelspørsmål

For å avslutte denne utforskningen av toppunktsform, har vi fire eksempler på problemer og forklaringer. Se om du kan løse problemene selv før du leser gjennom forklaringene!

#1: Hva er toppunktet til den kvadratiske ligningen $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Konverter ligningen $7y=91x^2-112$ til toppunktform. Hva er toppunktet?

#3: Gitt ligningen $y=2(x-3/2)^2-9$, hva er $x$-koordinatene for der denne ligningen skjærer $x$-aksen?

#4: Finn toppunktet til parabelen $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabola Vertex Form Practice: Løsninger

#1: Hva er toppunktet til den kvadratiske ligningen ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Start med å skille ut ikke-$x$-variabelen på den andre siden av ligningen:

$y-1.2=x^2+2.6x$

Siden vår $a$ (som i $ax^2+bx+c$) i den opprinnelige ligningen er lik 1, trenger vi ikke å faktorisere den fra høyre side her (selv om du vil, kan du skrive $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Deretter deler du $x$ koeffisienten (2.6) med 2 og kvadrerer den, og legg til det resulterende tallet på begge sider av ligningen:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Faktor høyre side av ligningen innenfor parentesen:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Til slutt kombinerer du konstantene på venstre side av ligningen, og flytt dem deretter over til høyre side.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Svaret vårt er $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: Konverter ligningen $7i y=91i x^2-112$ til toppunktform. Hva er toppunktet?

Når du konverterer en ligning til toppunktform, vil du at $y$ skal ha en koeffisient på 1, så det første vi skal gjøre er å dele begge sider av denne ligningen med 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Ta deretter konstanten over til venstre side av ligningen:

$y+16=13x^2$

Faktor ut koeffisienten til $x^2$-tallet ($a$) fra høyre side av ligningen

$y+16=13(x^2)$

Nå må du vanligvis fullføre kvadratet på høyre side av ligningen innenfor parentesen. Imidlertid er $x^2$ allerede et kvadrat, så du trenger ikke å gjøre noe annet enn å flytte konstanten fra venstre side av ligningen tilbake til høyre side:

$y=13(x^2)-16$.

Nå for å finne toppunktet:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, så $h=0$

$+k=-16$, så $k=-16$

Toppunktet til parabelen er $(0, -16)$.

#3: Gitt ligningen $i y=2(i x-3/2)^2-9$, hva er $i x$-koordinaten(e) for der denne ligningen skjærer $i x$-aksen?

Fordi spørsmålet ber deg finne $x$-skjæringspunktet(e) til ligningen, er det første trinnet å sette $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Nå er det et par måter å gå herfra. Den lure måten er å bruke det faktum at det allerede er en firkant skrevet inn i toppunktformlikningen til vår fordel.

Først flytter vi konstanten over til venstre side av ligningen:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Deretter deler vi begge sider av ligningen med 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Nå, den lure delen. Ta kvadratroten av begge sider av ligningen:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±