Algebra er et av de grunnleggende emnene i matematikk. Polynomer er en viktig del av algebra. Vietas formel brukes i polynomer. Denne artikkelen handler om Vietas formel som relaterer summen og produktet av røtter til koeffisienten til polynomet. Denne formelen brukes spesifikt i algebra.

Vietas formel

Vietas formler er de formlene som gir forholdet mellom summen og produktet av røttene til polynomet med koeffisientene til polynomene. Vietas formel beskriver koeffisientene til polynomet i form av summen og produktet av roten.

Vietas formel

Vietas formel omhandler summen og produktet av røttene og koeffisienten til polynomet. Det brukes når vi skal finne polynomet når røtter er gitt eller vi skal finne summen eller produktet av røttene.

Vietas formel for kvadratisk ligning

• Hvis f(x) = ax ² + bx + c er en andregradsligning med røtter en og b deretter,
  • Sum av røtter = α + β = -b/a
  • Produkt av røtter = αβ = c/a
• Hvis summen og produktet av røtter er gitt da, er den andregradsligningen gitt av:
  • x ² – (sum av røtter) x + (produkt av røtter) = 0

Vietas formel for kubikkligningen

• Hvis f(x) = ax ³ + bx ² + cx +d er en andregradsligning med røtter a, b og c deretter,
  • Sum av røtter = α + β + γ = -b/a
  • Summen av produktet av to røtter = αβ + αγ + βγ = c/a
  • Produkt av røtter = αβγ = -d/a
• Hvis summen og produktet av røttene er gitt da, er kubikkligningen gitt av:
  • x ³ – (sum av røtter)x ² + (summen av produktet av to røtter) x – (produktet av røttene) = 0

Vietas formel for generalisert ligning

Hvis f(x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + ……… + a ₂ x ² + a ₁ x +a ₀ er en andregradsligning med røtter r ₁ , r ₂ , r ₃ , …… r _n-1 , r _n deretter,

r ₁ + r ₂ + r ₃ +………. + r _n-1 + r _n = -a _n-1 /en _n

(r ₁ r ₂ + r ₁ r ₃ +…. +r ₁ r _n ) + (r ₂ r ₃ + r ₂ r ₄ +……. +r ₂ r _n ) + ……… + r _n-1 r _n = a _n-2 /en _n

:

:

r ₁ r ₂ …r _n = (-1) ⁿ (en ₀ /en _n )

Prøveproblemer

Oppgave 1: Hvis α , β er røttene til ligningen : x ² – 10x + 5 = 0 , finn deretter verdien av (α ² + b ² )/(en ² b + ab ² ).

Løsning:

Gitt Ligning:

array c-streng

• x²– 10x + 5 = 0

Av Vitas formel

a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10

αβ = c/a = 5/1 = 5

Som en²+b²) = (a + b)²– 2ab

= (10)²– 2×5

bilde som bakgrunn i css

= 100 – 10

(en²+b²) = 90

Nå verdien av (α²+ b²)/(en²b + ab²)

= (a²+ b²)/(αβ(α + β))

= 90/(5×10)

= 90/50

= 1.8

Oppgave 2: Hvis α , β er røttene til ligningen : x ² + 7x + 2 = 0 , finn deretter verdien av 14÷(1/α + 1/ β).

Løsning:

Gitt ligning:

• x²+ 7x + 2 = 0

Av Vitas formel

a + b = -b/a = -7/1 = -7

αβ = c/a = 2/1 = 2

Nå, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ

(1/a + 1/b) = -7/2

Nå verdi på 14÷(1/α + 1/ β)

= 14 ÷ (-7/2)

= 14 × (-2/7)

= -4

Oppgave 3: Hvis α , β er røttene til ligningen : x ² + 10x + 2 = 0 , finn deretter verdien av (α/β + β/α).

Løsning:

Gitt ligning:

• x²+ 10x + 2 = 0

Av Vitas formel

a + b = -b/a = 10/1 = 10

αβ = c/a = 2/1 = 2

Som en²+b²) = (a + b)²– 2ab

= 10²– 2×2

= 100 – 4

= 96

Nå verdien av (a/b + b/a) = (a²+b²)/ab

= 96/2

c++ int til streng

= 48

Oppgave 4: Hvis α og β er røttene til ligningen og gitt at α + β = -100 og αβ = -20, finn andregradsligningen.

Løsning:

gitt,

• Sum av røtter = α + β = -100
• Produkt av røtter = αβ = -20

Kvadratisk ligning er gitt av:

x²– (sum av røtter) x + (produkt av røtter) = 0

x²– (-100)x + (-20) = 0

x ² + 100x – 20 = 0

Oppgave 5: Hvis α , β og γ er røttene til ligningen og gitt at α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 og αβ γ = -6 så finn kubikkligningen.

Løsning:

gitt,

• Sum av røtter = α + β + γ = 10,
• Summen av produktet av to røtter = αβ + αγ + βγ = -1
• Produkt av røtter = snitt = -6

Kubisk ligning er gitt av:

x³– (sum av røtter)x²+ (summen av produktet av to røtter) x – (produktet av røttene) = 0

x³– 10x²+ (-1)x – (-6) = 0

x ³ – 10x ² – x + 6 = 0

powershell vs bash

Oppgave 6: Hvis α , β og γ er røttene til likningen x ³ + 1569x ² – 3 = 0, finn deretter verdien av [(1/α) + (1/β )] ³ + [(1/c) + (1/b )] ³ + [(1/c) + (1/a )] ³

Løsning:

gitt,

• Sum av røtter = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
• Summen av produktet av to røtter = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
• Produkt av røtter = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3

Siden, (s³+ q³+ r³– 3pqr) = (p + q + r)(s²+q²+ r²– pq – qr – pr) ……(1)

La, p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )

streng inneholder

p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ

= 2(0/3) = 0

Fra ligning (1):

(s³+ q³+ r³– 3pqr) = 0

s³+ q³+ r³= 3pqr

[(1/a) + (1/b )]³+ [(1/c) + (1/b )]³+ [(1/c) + (1/a )]³= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]

= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b)

= -3/gjennomsnitt = -3/3

= -1

Oppgave 7: Hvis α og β er røttene til likningen x ² – 3x +2 =0 finn deretter verdien av α ² – b ² .

Løsning:

gitt,

• Sum av røtter = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
• Produkt av røtter = αβγ = c/a = 2/1 = 2

Som (a – b)²= (a + b)²-4ab

(a – b)²= (3)²– 4(2) = 9 – 8 = 1

(a – b) = 1

Siden,

en²– b²= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3

en ² – b ² = 3