Akutt, stump, likebenet, likesidet ... Når det kommer til trekanter, er det mange forskjellige varianter, men bare noen få utvalgte som er 'spesielle.' Disse spesielle trekantene har sider og vinkler som er konsistente og forutsigbare og kan brukes til å snarveie deg gjennom geometri- eller trigonometriproblemene dine. Og en 30-60-90 trekant – uttales «tretti seksti nitti» – er tilfeldigvis en veldig spesiell type trekant.
I denne guiden vil vi lede deg gjennom hva en 30-60-90 trekant er, hvorfor den fungerer, og når (og hvordan) du kan bruke kunnskapen din om den. Så la oss komme til det!
Hva er en 30-60-90 trekant?
En 30-60-90 trekant er en spesiell rettvinklet trekant (en rettvinklet trekant er en hvilken som helst trekant som inneholder en 90 graders vinkel) som alltid har graders vinkler på 30 grader, 60 grader og 90 grader. Fordi det er en spesiell trekant, har den også sidelengdeverdier som alltid er i et konsistent forhold til hverandre.
Det grunnleggende trekantforholdet på 30-60-90 er:
Side motsatt 30°-vinkelen: $x$
Side motsatt 60°-vinkelen: $x * √3$
Side motsatt 90°-vinkelen: x$
For eksempel kan en 30-60-90 graders trekant ha sidelengder på:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
intelligent idé vs formørkelse
(Hvorfor er det lengre benet 3? I denne trekanten er det korteste benet ($x$) $√3$, så for det lengre benet er $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Og hypotenusen er 2 ganger det korteste benet, eller √3$)
Og så videre.
Siden motsatt 30°-vinkelen er alltid den minste , fordi 30 grader er den minste vinkelen. Siden motsatt 60°-vinkelen vil være den midterste lengden , fordi 60 grader er den mellomstore gradvinkelen i denne trekanten. Og til slutt, siden motsatt 90°-vinkelen vil alltid være den største siden (hypotenusen) fordi 90 grader er den største vinkelen.
Selv om den kan ligne på andre typer rettvinklede trekanter, er grunnen til at en 30-60-90-trekant er så spesiell at du bare trenger tre opplysninger for å finne annenhver måling. Så lenge du vet verdien av to vinkelmål og en sidelengde (spiller ingen rolle hvilken side), vet du alt du trenger å vite om trekanten din.
For eksempel kan vi bruke trekantformelen 30-60-90 for å fylle ut alle de gjenværende informasjonsblankene i trekantene nedenfor.
Eksempel 1
Vi kan se at dette er en rettvinklet trekant der hypotenusen er dobbelt så lang som et av bena. Dette betyr at dette må være en 30-60-90 trekant og den minste gitte siden er motsatt av 30°.
Det lengre benet må derfor være motsatt 60°-vinkelen og måle * √3$, eller √3$.
Eksempel 2
virtuell hukommelse
Vi kan se at dette må være en 30-60-90 trekant fordi vi kan se at dette er en rettvinklet trekant med en gitt måling, 30°. Den umarkerte vinkelen må da være 60°.
Siden 18 er målet motsatt 60°-vinkelen, må det være lik $x√3$. Den korteste etappen må da måle /√3$.
(Merk at benlengden faktisk vil være /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ fordi en nevner ikke kan inneholde en radikal/kvadratrot).
Og hypotenusen vil være (18/√3)$
(Merk at du igjen ikke kan ha en radikal i nevneren, så det endelige svaret vil virkelig være 2 ganger benlengden på √3$ => √3$).
Eksempel 3
Igjen får vi to vinkelmål (90° og 60°), så det tredje målet vil være 30°. Fordi dette er en 30-60-90 trekant og hypotenusen er 30, vil det korteste benet være lik 15 og det lengre benet vil være lik 15√3.
Du trenger ikke å konsultere den magiske åtteballen – disse reglene fungerer alltid.
Hvorfor det fungerer: 30-60-90 Triangle Theorem Proof
Men hvorfor fungerer denne spesielle trekanten slik den gjør? Hvordan vet vi at disse reglene er lovlige? La oss gå gjennom nøyaktig hvordan 30-60-90 trekantteoremet fungerer og bevise hvorfor disse sidelengdene alltid vil være konsistente.
La oss først glemme rettvinklet et sekund og se på en likesidet trekant.
En likesidet trekant er en trekant som har alle like sider og alle like vinkler. Fordi en trekants indre vinkler alltid summerer seg til 180° og 0/3 = 60$, en likesidet trekant vil alltid ha tre 60° vinkler.
La oss nå slippe ned en høyde fra den øverste vinkelen til bunnen av trekanten.
Vi har nå skapte to rette vinkler og to kongruente (like) trekanter.
Hvordan vet vi at de er like trekanter? Fordi vi falt en høyde fra en likesidet trekant, har vi delt basen nøyaktig i to. De nye trekantene deler også en sidelengde (høyden), og de har hver samme hypotenuslengde. Fordi de deler tre sidelengder til felles (SSS), betyr dette trekantene er kongruente.
Merk: Ikke bare er de to trekantene kongruente basert på prinsippene for side-side-side-lengder, eller SSS, men også basert på side-vinkel-sidemål (SAS), vinkel-vinkel-side (AAS) og vinkel- sidevinkel (ASA). I utgangspunktet? De er absolutt kongruente.
Nå som vi har bevist kongruensene til de to nye trekantene, kan vi se at toppvinklene hver må være lik 30 grader (fordi hver trekant allerede har vinkler på 90° og 60° og må summere seg til 180°). Dette betyr vi har laget to 30-60-90 trekanter.
Og fordi vi vet at vi kutter bunnen av den likesidede trekanten i to, kan vi se at siden på motsatt side av 30°-vinkelen (den korteste siden) av hver av våre 30-60-90 trekanter er nøyaktig halvparten av lengden av hypotenusen .
Så la oss kalle vår opprinnelige sidelengde $x$ og vår halverte lengde $x/2$.
array-streng i c
Nå er det bare å finne vår midtsidelengde som de to trekantene deler. For å gjøre dette kan vi ganske enkelt bruke Pythagoras teorem.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Så vi sitter igjen med: $x/2, {x√3}/2, x$
La oss nå gange hver takt med 2, bare for å gjøre livet enklere og unngå alle brøkene. På den måten sitter vi igjen med:
$x$, $x√3$, x$
Vi kan derfor se at en 30-60-90 trekant vil alltid ha konsekvente sidelengder på $x$, $x√3$ og x$ (eller $x/2$, ${√3x}/2$ og $x$).
Heldigvis for oss kan vi bevise at 30-60-90 trekantregler er sanne uten alt dette.
Når skal du bruke 30-60-90 trekantregler
Å kjenne til 30-60-90-trekantreglene vil kunne spare deg for tid og energi på en rekke forskjellige matematiske problemer, nemlig et bredt utvalg av geometri- og trigonometriproblemer.
Geometri
Riktig forståelse av 30-60-90-trekantene vil tillate deg å løse geometrispørsmål som enten ville være umulig å løse uten å kjenne til disse forholdsreglene, eller i det minste ville ta mye tid og krefter på å løse den 'lange veien.'
Med de spesielle trekantforholdene kan du finne ut manglende trekanthøyder eller benlengder (uten å måtte bruke Pythagoras teorem), finne arealet til en trekant ved å bruke manglende informasjon om høyde eller grunnlengde, og raskt beregne omkrets.
Hver gang du trenger hurtighet for å svare på et spørsmål, vil det være nyttig å huske snarveier som 30-60-90-reglene.
Trigonometri
Å huske og forstå trekantforholdet 30-60-90 vil også tillate deg å løse mange trigonometriske problemer uten verken behov for en kalkulator eller behov for å tilnærme svarene dine i desimalform.
En 30-60-90 trekant har ganske enkle sinus, cosinus og tangenter for hver vinkel (og disse målingene vil alltid være konsistente).
Sinus på 30° vil alltid være /2$.
Cosinus på 60° vil alltid være /2$.
eksempler på Moore-maskin
Selv om de andre sinusene, cosinusene og tangentene er ganske enkle, er disse de to som er enklest å huske og som sannsynligvis vil dukke opp på tester. Så å kjenne disse reglene vil tillate deg å finne disse trigonometrimålingene så raskt som mulig.
Tips for å huske 30-60-90-reglene
Du vet at disse 30-60-90-forholdsregler er nyttige, men hvordan holder du informasjonen i hodet? Å huske trekantreglene for 30-60-90 er et spørsmål om å huske forholdet 1: √3 : 2, og vite at den korteste sidelengden alltid er motsatt av den korteste vinkelen (30°) og den lengste sidelengden alltid er motsatt av største vinkel (90°).
Noen mennesker husker forholdet ved å tenke, ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' fordi '1, 2, 3' rekkefølgen er vanligvis lett å huske. Den eneste forholdsregelen for å bruke denne teknikken er å huske at den lengste siden faktisk er x$, ikke $x$ ganger $√3$.
En annen måte å huske forholdene på er å bruk et mnemonisk ordspill på forholdet 1: rot 3: 2 i riktig rekkefølge. For eksempel, 'Jackie Mitchell slo ut Lou Gehrig og 'vant Ruthy også'': en, rot tre, to. (Og det er en sann baseballhistorie!)
Lek med dine egne mnemoniske enheter hvis disse ikke appellerer til deg – syng forholdet til en sang, finn dine egne «en, rot tre, to»-fraser, eller kom opp med et dikt. Du kan til og med bare huske at en 30-60-90 trekant er en halv likesidet og finne ut målene derfra hvis du ikke liker å huske dem.
Men det er fornuftig for deg å huske disse 30-60-90-reglene, hold disse forholdene på hodet for dine fremtidige geometri- og trigonometrispørsmål.
java print
Memorering er din venn, men du kan få det til.
Eksempel 30-60-90 Spørsmål
Nå som vi har sett på hvordan og hvorfor for 30-60-90 trekanter, la oss jobbe gjennom noen øvingsproblemer.
Geometri
En bygningsarbeider lener en 40 fots stige opp mot siden av en bygning i en vinkel på 30 grader fra bakken. Bakken er jevn og siden av bygningen er vinkelrett på bakken. Hvor langt opp i bygget når stigen, til nærmeste fot?
Uten å kjenne våre 30-60-90 spesielle trekantregler, må vi bruke trigonometri og en kalkulator for å finne løsningen på dette problemet, siden vi bare har en sidemåling av en trekant. Men fordi vi vet at dette er en spesiell trekant, kan vi finne svaret på bare sekunder.
Hvis bygningen og bakken er vinkelrett på hverandre, må det bety at bygningen og bakken danner en rett (90°) vinkel. Det er også gitt at stigen møter bakken i en vinkel på 30°. Vi kan derfor se at den gjenværende vinkelen må være 60°, noe som gjør dette til en 30-60-90 trekant.
Nå vet vi at hypotenusen (den lengste siden) på denne 30-60-90 er 40 fot, noe som betyr at den korteste siden vil være halvparten av den lengden. (Husk at den lengste siden alltid er to ganger—x$—så lang som den korteste siden.) Fordi den korteste siden er motsatt av 30°-vinkelen, og den vinkelen er gradmålet til stigen fra bakken, betyr det at toppen av stigen treffer bygningen 20 fot fra bakken.
Vårt endelige svar er 20 fot.
Trigonometri
Hvis, i en rettvinklet trekant, sin Θ = /2$ og den korteste benlengden er 8. Hvor lang er lengden på den manglende siden som IKKE er hypotenusen?
Fordi du kjenner 30-60-90-reglene dine, kan du løse dette problemet uten behov for verken Pythagoras teoremet eller en kalkulator.
Vi ble fortalt at dette er en rettvinklet trekant, og vi vet fra våre spesielle rettvinklede trekantregler at sinus 30° = /2$. Den manglende vinkelen må derfor være 60 grader, noe som gjør dette til en 30-60-90 trekant.
Og fordi dette er en 30-60-90 trekant, og vi ble fortalt at den korteste siden er 8, må hypotenusen være 16 og den manglende siden må være * √3$, eller √3$.
Vårt endelige svar er 8√3.
Take-Aways
Husker regler for 30-60-90 trekanter vil hjelpe deg å snarvei deg gjennom en rekke matematiske problemer . Men husk at selv om det å kjenne disse reglene er et hendig verktøy å ha i beltet, kan du fortsatt løse de fleste problemer uten dem.
Hold styr på reglene for $x$, $x√3$, x$ og 30-60-90 på den måten som gir mening for deg, og prøv å holde dem rett hvis du kan, men ikke få panikk hvis tankene dine tom ut når det er crunch time. Uansett, du har dette.
Og hvis du trenger mer trening, fortsett og sjekk ut dette 30-60-90 trekant-quiz . Lykke til med prøvetakingen!