Integral av sin x er -cos(x) pluss en konstant (C). Den representerer arealet under sinuskurven. Funksjonen gjentas hver 2π radian på grunn av dens periodiske natur. Denne artikkelen forklarer integralet til sinusfunksjonen, og viser dens formel, bevis og anvendelse for å finne bestemte bestemte integraler. Videre nevner den løste problemer og ofte stilte spørsmål.

Innholdsfortegnelse

• Hva er integral av Sin x?
• Integral av Sin x Formula
• Grafisk betydning av integral av Sin x
• Integral av Sin x Proof ved substitusjonsmetode
• Bestemt integral av Sin x
• Integral av Sin x Fra 0 til π
• Integral av Sin x Fra 0 til π/2

Hva er integral av Sin x?

Integralet av sin(x) angående x er -cos(x) pluss en konstant (C). Dette betyr at når du differensierer -cos(x) med hensyn til x, får du sin(x). Integrasjonskonstanten (C) representerer enhver ekstra konstant verdi som kan være tilstede i den opprinnelige funksjonen.

Integralet av sin x betegner fysisk området som dekkes under sinuskurven.

Lære,

• Regning i matematikk
• Integrasjon i matte

Integral av Sin x Formula

Integralet til sinusfunksjonen, ∫ sin(x) dx, er lik -cos(x) + C, der C er integrasjonskonstanten.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Her er cos(x) cosinusfunksjonen, og C representerer konstanten som legges til antideriverten, ettersom den deriverte av en konstant er null.

Grafisk betydning av integral av Sin x

Integralet av sin(x) fra ( a ) til ( b ) har grafisk betydning når det gjelder å beregne arealet under kurven innenfor dette intervallet. La oss utforske den grafiske betydningen ved å bruke både den bestemte integralmetoden og den geometriske metoden.

Definitiv integrert metode

Integralet av sin(x) fra (a) til (b) er gitt av:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Dette representerer fortegnsområdet mellom kurven sin(x) og x-aksen fra ( a ) til ( b ).

Geometrisk metode

Tenk på grafen til sin(x) fra ( a ) til ( b ). Området under kurven kan deles inn i to regioner:

• Positivt område: Regioner der sin(x) er positiv (over x-aksen). Dette bidrar til det positive arealet under kurven.
• Negativt område: Regioner der sin(x) er negativ (under x-aksen). Dette bidrar til det negative arealet under kurven.

Det totale arealet er den algebraiske summen av disse positive og negative områdene.

Eksempel:

For å finne arealet under kurven til sin(x) fra ( a = 0 ) til ( b = π/2 ).

Ved å bruke den bestemte integralmetoden:

∫₀^s/2sin x = [-cos x]₀^s/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Dette er det signerte området under kurven.

Ved å bruke den geometriske metoden:

Grafen til sin(x) fra 0 til (π/2) er en fjerdedel av en sirkel, og arealet er faktisk 1.

Integrasjon av Sin x Proof ved substitusjonsmetode

For å finne integralet av sin(x) ved å bruke substitusjonsmetoden, la oss vurdere integralet:

En vanlig erstatning for trigonometriske integraler innebærer å la u være lik uttrykket inne i den trigonometriske funksjonen. I dette tilfellet, la u = cos(x). Deretter beregner du du i form av dx:

du/dx = -sin(x)

Nå, løs for dx:

dx = -1/sin(x) du

Erstatt nå u og dx i form av u i det opprinnelige integralet:

Integral av sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Forenkle uttrykket:

Integral av sin(x) dx = -∫ du

Integrer nå med hensyn til deg:

Integral av sin(x) dx = -u + C

Bytt nå tilbake for u, som ble definert som cos(x):

Integral av sin(x) dx = -cos(x) + C

Så ved å bruke substitusjonsmetoden har vi kommet til samme resultat som i beviset med derivater. Integralet til sin(x) er -cos(x) + C, der C er integrasjonskonstanten.

Bestemt integral av Sin x

Det bestemte integralet av sin(x) fra a til b, betegnet som

∫ ^b _en sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Den beregner nettoarealet under sinuskurven mellom x = a og x = b, med tanke på retningen til området over og under x-aksen.

Lære, Definitiv integral

Integral av Sin x Fra 0 til Pi

For å finne integralet av sin(x) fra 0 til π, kan vi bruke antideriverten. Antiderivatet av sin(x) er -cos(x). Ved å evaluere denne antideriverten fra 0 til π får vi:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Siden cos(π) er -1 og cos(0) er 1, forenkles uttrykket til:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Så integralet av sin(x) fra 0 til π er lik 2. Dette representerer fortegnsområdet mellom sin(x)-kurven og x-aksen fra x = 0 til x = π.

Integral av Sin x Fra 0 til Pi /2

Det bestemte integralet representerer fortegnsområdet mellom kurven og x-aksen over det gitte intervallet.

Integralet er gitt som:

∫₀^s/2sin(x) dx

Ved å bruke antideriverten -cos(x) for å evaluere integralet:

cos(x) |[0 til π/2]

Erstatt nå π/2 med -cos(x):

java escape-karakterer

cos(π/2) – (-cos(0))

Husk at cos(π/2) = 0 og cos(0) = 1. Bytt ut disse verdiene:

-(0) – (-1)

Forenkle:

0 + 1 = 1

Bestemt integral av sin(x) fra 0 til π/2 er lik 1. Dette betyr at fortegnsområdet mellom sinuskurven og x-aksen fra x = 0 til x = π/2 er 1.

Sjekk også

• Integrasjon av Cos x
• Integrasjon av Tan x
• Integrasjonsformler

Integral av Sin x – løste eksempler

Eksempel 1: Finn integralet til sin2(x)

Løsning:

For uten²(x), kan du bruke formelen som involverer cos(2x).

∫ uten²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Del den i to deler:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Integralet av dx er bare x. Integralet av cos(2x) innebærer å bruke sin(2x)-formelen. Det ser slik ut:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Kombiner de to resultatene, og legg til en konstant C for å ta hensyn til enhver potensiell konstant i det opprinnelige integralet.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Eksempel 2: Finn integralet av sinus ³ x.

Løsning:

Integral av sinus kubert med hensyn til x kan skrives som:

∫uten³x dx

Bruk en trigonometrisk identitet for å forenkle:

uten³x = [1 – cos²(x)] sin(x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Distribuer og separer vilkårene:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Integrer hvert begrep separat:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Her representerer (C) integrasjonskonstanten.

Eksempel 3: Finn integral av sin x ^-1

Løsning:

Integralet av sin(x)^-1kan uttrykkes ved hjelp av arcsine-funksjonen. Integralet er gitt av:

∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + C

Her er (C) konstanten for integrasjon.

Eksempel 4: Finn integral av sin x ²

Løsning:

Integral av sin²(x) med hensyn til x kan løses ved å bruke en trigonometrisk identitet.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Nå, integrer hvert begrep separat:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

hvor ( C ) er konstanten for integrasjon.

Eksempel 5: Finn integral av sin x ^-3

Løsning:

Integral av sin(x)^-3med hensyn til (x) innebærer en trigonometrisk substitusjon. Slik kan du løse det:

La u = sin(x), så du = cos(x)dx

Bytt nå disse inn i integralen:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³av

Nå, integrer med hensyn til (u):

∫u⁻³du = u⁻²/−2​ + C

Bytt tilbake i form av (x) ved å bruke u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Så integralet av sin(x)^-3med hensyn til (x) er -1/2sin²x , hvor (C) er konstanten for integrasjon.

Eksempel 6: Finn integral av sin invers x

Løsning:

Å finne integralet av synd^-1(x) med hensyn til (x), kan du bruke integrasjon etter deler. Formelen for integrering etter deler er:

∫udv=uv−∫vdu

u = synd^-1(x) og dv = dx

Finn nå (du) og (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Bruk formelen for integrering etter deler:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Nå, integrer den gjenværende termen på høyre side. Du kan bruke substitusjon ved å la (t = 1 – x²), deretter (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Nå bytter du tilbake i form av (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Sette alt sammen:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

hvor (C) er integrasjonskonstanten.

Eksempel 7: Finn integral av x sin 2x dx

Løsning:

For å finne integralet til xsin(2x) med hensyn til (x), kan du bruke integrasjon etter deler. Formelen for integrering etter deler er gitt av:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x og dv = sin(2x)dx

Finn nå (du) og (v):

du = dx og v = -1/2cos(2x)

Bruk formelen for integrering etter deler:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Nå, integrer den gjenværende termen på høyre side. Integralet til -1/2cos(2x) kan finnes ved å la (u = 2x) og bruke en enkel substitusjon:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Bytt inn dette resultatet tilbake i den opprinnelige ligningen:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Så integralet av xsin(2x) med hensyn til (x) er -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, hvor (C) er integrasjonskonstanten.

Eksempel 8: Finn integral av sin x cos 2x

Løsning:

For å finne integralet av sin(x) cos(2x) med hensyn til (x), kan du bruke integrasjon etter deler. Formelen for integrering etter deler er:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) og dv = cos(2x)dx

Finn nå (du) og (v):

du = cos(x) dx og v = 1/2 sin(2x)

Bruk formelen for integrering etter deler:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Nå, integrer den gjenværende termen på høyre side. Du kan bruke integrering etter deler igjen:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Fortsett prosessen til integralet blir håndterbart. Etter forenkling vil du få det endelige resultatet:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

hvor (C) er integrasjonskonstanten.

Integral of Sin x – Praksisspørsmål

Q1. Finn integralet av sinus fra 0 til pi.

Q2. Beregn integralet av sinus fra -π/2 til π/2.

Q3. Finn verdien av integralet av sinus pluss cosinus med hensyn til x.

Q4. Vurder integralet til sinus(2x) fra 0 til π/3.

Q5. Finn antideriverten til sinus(3x) i forhold til x.

Q6. Beregn integralet til sinus(2x) fra π til 2π.

Q7. Integrer funksjonen sinus i andre kvadrat med hensyn til x.

Q8. Evaluer integralet av sinus i andre kvadrat fra -π/4 til π/4.

Integral of Sin x – Ofte stilte spørsmål

Hva er integral av Sin x?

Integral av sin x er -cos x

Hva er Sin x?

Sin(x), er en trigonometrifunksjon som representerer forholdet mellom lengden på siden motsatt en vinkel og lengden på hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Hva er Range of Sin x?

Området for Sin x er [-1, 1].

Hva er integral og derivert av Sin x?

Integralet av sin x er -cos x og den deriverte av si x er cos x

Hva er integral av Sin x og Cos x?

Integralet av sin x er -cos x + C og integralet til cos x er sin x

Hva er Integral of Sin 2x?

Integreringen av sin 2x er (-cos2x)/2 + c