En til en funksjon eller One-One Function er en av de typer funksjoner definert over domene og codomain og beskriver den spesifikke typen forhold mellom domene og codomain. En-til-en-funksjonen kalles også injeksjonsfunksjonen. En til en funksjon er en matematisk funksjon hvor hvert element i domenet kart til et unikt element i codomenet .
Denne artikkelen utforsker konseptet en-til-en-funksjon eller én-en-funksjon i detalj, inkludert definisjonen og eksempler som hjelper deg å forstå konseptet med letthet. Vi vil også diskutere noen eksempler på problemer og gi deg noen praksisproblemer som du kan løse. Så la oss lære om dette viktige konseptet i matematikk kjent som en til en funksjon.
Innholdsfortegnelse
- Hva er en-til-en funksjon?
- Eksempler på en-til-en-funksjoner
- Egenskaper til en-til-en-funksjoner
- En til en funksjon og til funksjon
- Løste eksempler på en til en funksjon
Hva er en-til-en funksjon?
En en-til-en funksjon, også kjent som en injeksjonsfunksjon, er en der forskjellige elementer av A har forskjellige elementer relatert til B eller forskjellige elementer av A har forskjellige bilder i B.
Hvis det er forskjellige bilder for en funksjon, betyr det at det bare er mulig for en-til-en hvis forbildene var forskjellige hvis B-settet har forskjellige elementer, betyr det at det bare er mulig når A-settet hadde forskjellige elementer som disse var forhåndsbilder.
rekke strenger i c-programmering
En til en funksjonsdefinisjon
En funksjon 'f' fra et sett 'A' til sett 'B' er en-til-en hvis ingen to elementer i 'A' er tilordnet det samme elementet i 'B.'
La oss vurdere disse to diagrammene. For diagram A innser vi at 10 kart til 1, 20 kart til 2 og 30 kart til 3.
For diagram B er det imidlertid klart at 10 og 30 kart til 3 og deretter 20 kart til 1.
Siden vi har elementer i domenet som tilsvarer distinkte verdier i hvert domene for diagram A, gjør det funksjonen en-til-en, dermed vårt diagram B er ikke en til en.
Dette kan uttrykkes matematisk som
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Eksempel på en-til-en-funksjoner
- Identitetsfunksjon: Identitetsfunksjonen er et enkelt eksempel på en en-til-en funksjon. Den tar en inngang og returnerer samme verdi som utgangen. For ethvert reelt tall x er identitetsfunksjonen definert som:
f(x) = x
Hver distinkt inngang x tilsvarer en distinkt utgang f(x), noe som gjør den til en en-til-en-funksjon.
- Lineær funksjon: En lineær funksjon er en der den høyeste potensen til variabelen er 1. For eksempel:
f(x) = 2x + 3
Dette er en en-til-en funksjon fordi uansett hvilken verdi av x du velger, vil du få en unik verdi for f(x).
- Absolutt verdi funksjon: Absoluttverdifunksjonen f(x)=∣x∣ er også en en-til-en funksjon. For ethvert reelt tall x, returnerer absoluttverdifunksjonen en ikke-negativ verdi, og forskjellige verdier av x vil resultere i forskjellige absolutte verdier.
La oss bevise et slikt eksempel for en-til-en-funksjon.
Eksempel: Bevis at funksjonen f(x) = 1/(x+2), x≠2 er en-til-en.
Løsning:
I følge en-til-en-funksjonen vet vi det
f(a) = f(b)
erstatte a med x og x med b
f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)
⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)
kryss multipliser ligningen ovenfor
1(b+2)=1(a+2)
b+2=a+2
⇒ b=a+2-2
∴ a=b
Siden a = b sies funksjonen å være en-til-en funksjon.
Egenskaper En-til-en-funksjoner
La oss vurdere at f og g er to en-til-en funksjoner, egenskapene er som følger:
- Hvis f og g begge er én til én, følger f ∘ g injektivitet.
- Hvis g ∘ f er én til én, så er funksjon f én til én, men funksjon g er det kanskje ikke.
- f: X → Y er en-en, hvis og bare hvis, gitt noen funksjoner g, h : P → X når f ∘ g = f ∘ h, så g = h. Med andre ord, en-en-funksjoner er nøyaktig monomorfismene i kategorisettet med sett.
- Hvis f: X → Y er en-en og P er en delmengde av X, så f-1(f(A)) = P. Dermed kan P hentes fra bildet f(P).
- Hvis f: X → Y er en-en og P og Q begge er delmengder av X, så er f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
- Hvis både X og Y er begrenset med samme antall elementer, så er f: X → Y en-en, hvis og bare hvis f er surjektiv eller på funksjon.
Graf over en-til-en funksjon
La oss se en av grafrepresentasjonene av en-til-en funksjon
Grafen ovenfor for funksjonen f(x)= √x viser den grafiske representasjonen av en-til-en funksjon.
Horisontal linjetest
En funksjon er en-til-en hvis hver horisontal linje ikke skjærer grafen på mer enn ett punkt.
La oss bruke en lineær funksjon som eksempel. La oss kalle det f(x) , så f(x) har en invers funksjon. For å finne ut om f(x) har en invers funksjon må du vise at det er en en-til-en funksjon, du må vise at den består horisontallinjetesten. Så hvis vi tegner en horisontal linje og hvis f(x) berører horisontal linje mer enn én gang, betyr det at f(x) ikke er en en-til-en funksjon og den har ikke en invers funksjon.
I eksemplet ovenfor skjærer den bare den horisontale linjen på ett punkt. Så f(x) er en-til-en funksjon som betyr at den har en invers funksjon.
Invers av en-til-en funksjon
La f være en en-til-en funksjon med et domene A og område B. Da er inversen av f en funksjon med domene B og område A definert av f-1(y) =x hvis og bare hvis f(x)=y for en hvilken som helst y i B. Husk alltid at en funksjon har en invers hvis og bare hvis den er en-til-en. En funksjon er en-til-en hvis den høyeste eksponenten er et oddetall. Men hvis det høyeste tallet er et partall eller en absolutt verdi, er dette ikke en-til-en funksjon.
Eksempel: f(x)=3x+2 finn inversen til funksjonen
Løsning:
skriv funksjonen på formen y=f(x).
⇒ y=3x+2
lar vi bytte y- og x-variabler
⇒ x=3y+2
løse y i form av x
⇒ x-2=3y
del ligningen med 3
⇒ (x-2)/3=3y/3
⇒ y=(x-2)/3
∴ f-1(x)=(x-2)/3
En til en funksjon og til funksjon
De viktigste forskjellene mellom One to One og Onto-funksjoner er oppført i følgende tabell:
| Eiendom | En-til-en (injektiv) funksjon | På (oversikts) funksjon |
|---|---|---|
| Definisjon | En funksjon der ikke to forskjellige elementer i domenet tilordner det samme elementet i codomenet. Med andre ord, hvert element i domenet tilordnes et unikt element i codomenet. | En funksjon der hvert element i codomenet er tilordnet av minst ett element i domenet. Med andre ord, rekkevidden til funksjonen tilsvarer hele codomenet. |
| Symbolsk representasjon | f(x1) ≠ f(x2) hvis x1≠ x2for alle x1, x2i domenet. | For hver y i codomenet eksisterer det en x i domenet slik at f(x) = y. |
| Grafisk representasjon | Grafen til en en-til-en funksjon har aldri en horisontal linje som skjærer den ved mer enn ett punkt. | Grafen til en onto-funksjon dekker kanskje ikke hvert punkt på codomenet, men den dekker hvert punkt den kan, noe som betyr at det ikke er hull i codomenet. |
| Eksempel | f(x) = 2x er en-til-en fordi ingen to distinkte verdier av x produserer samme utgang. | f(x) = √x er på for ikke-negative reelle tall som sitt codomene fordi alle ikke-negative reelle tall har et forbilde i denne funksjonen. |
| Invers funksjon | En en-til-en funksjon har vanligvis en invers funksjon. | En onto-funksjon kan ha en invers funksjon eller ikke. |
| Kardinalitet | Kardinaliteten til domenet og codomenet kan være lik eller forskjellig for en-til-en-funksjoner. | Kodomenets kardinalitet er vanligvis større enn eller lik kardinaliteten til domenet for funksjoner. |
Følgende illustrasjon gir den klare forskjellen mellom en funksjon og en funksjon:
Les mer,
- Funksjoner
- Typer funksjoner
- Relasjon og funksjon
Løste problemer på en til en funksjon
La oss løse noen problemer for å illustrere en-til-en funksjoner:
Oppgave 1: Bestem om følgende funksjon er en-til-en: f(x) = 3x – 1
Løsning:
Løsning 1: For å sjekke om det er en-til-en, må vi vise at ingen to distinkte x-verdier tilordnes den samme y-verdien.
Anta at f(a) = f(b), hvor a ≠ b.
3a – 1 = 3b – 1
3a = 3b
a = b
Siden den eneste måten for f(a) = f(b) er når a = b, er denne funksjonen faktisk en-til-en.
Oppgave 2: Bestem om følgende funksjon er en-til-en: g(x) = x 2
Løsning:
Løsning 2: Vi bruker den horisontale linjetesten ved å tegne funksjonen grafisk. Hvis en horisontal linje skjærer grafen mer enn én gang, er den ikke en-til-en.
Grafen til g(x) = x^2 er en parabel som åpner seg oppover. En hvilken som helst horisontal linje krysser grafen bare én gang, så denne funksjonen er ikke en-til-en.
Øv problemer på en-til-én-funksjoner
Oppgave 1: Finn ut om følgende funksjon er en-til-en:
- f(x) = 2x + 3
- g(x) = 3x2- 1
- h(x) =3√x
Oppgave 2: Finn en funksjon som er en-til-en fra settet med reelle tall til settet med reelle tall.
Oppgave 3: Gitt funksjonen g(x) = x2+ 1, avgjør om det er en-til-en på hele domenet.
Oppgave 4: Tenk på funksjonen h(x) = ex. Er det en en-til-en funksjon?
Oppgave 5: Finn den inverse funksjonen til f(x) = 4x – 7 og bestem dens domene.
Oppgave 6: Bestem om funksjonen p(x) = √x er en-til-en.
Oppgave 7: Gitt q(x) = x/2, finn domenet og området til funksjonen.
Oppgave 8: Sjekk om funksjonen r(x) = sin (x) er en-til-en over intervallet [0, π].
Oppgave 9: Tenk på funksjonen s(x) = |x|. Er det en en-til-en funksjon?
Oppgave 10: Bestem om funksjonen t(x) = 1/x er en-til-en og finn dens domene.
En-til-én-funksjoner – vanlige spørsmål
1. Hva er en en-til-en funksjon?
En en-til-en-funksjon er en matematisk funksjon som kartlegger hvert element i sitt domene til et unikt element i sitt codomene. Med andre ord, den kartlegger ikke to forskjellige elementer i domenet til det samme elementet i codomenet.
2. Hvordan kan jeg finne ut om en funksjon er en-til-en?
Du kan bruke den horisontale linjetesten. Hvis ingen horisontal linje skjærer grafen til funksjonen mer enn én gang, er det en en-til-en funksjon.
3. Hva er forskjellen mellom en en-til-en-funksjon og en onto-funksjon?
En en-til-en-funksjon sikrer at ikke to distinkte elementer i domenet kartlegges til det samme elementet i kodomenet, mens en onto-funksjon, også kjent som en surjektiv funksjon, sikrer at hvert element i kodomenet er kartlagt til med minst ett element i domenet.
4. Er alle lineære funksjoner en-til-en?
Nei, ikke alle lineære funksjoner er én-til-én. For eksempel er f(x) = 2x en-til-en, men g(x) = 2x + 1 er ikke fordi den tilordner to forskjellige x-verdier til samme y-verdi (f.eks. g(1) = 3 og g(2) = 5).