Vinkelrette linjer i matematikk er par av linjer som alltid skjærer hverandre i rette vinkler, dvs. vinkelrette linjer er alltid kryssende linjer som skjærer hverandre i 90°. De vinkelrette linjene er lett å se av oss, hjørnene på veggene, hjørnene på skrivebordet og andre representerer den parallelle linjen. For vinkelrette linjer sier vi at de skjærer hverandre i rette vinkler. Den korteste avstanden mellom to linjer er gitt ved å bruke den vinkelrette avstanden mellom dem, dvs. den vinkelrette linjen mellom to punkter gir den korteste avstanden mellom dem.

I denne artikkelen vil vi lære om vinkelrette linjer, deres egenskaper og andre i detalj.

Innholdsfortegnelse

• Hva er vinkelrette linjer?
• Egenskaper til vinkelrette linjer
• Helning av vinkelrette linjer
• Formel for vinkelrette linjer
• Hvordan tegne vinkelrette linjer?
• Perpendikulær linjeligning

Hva er vinkelrett?

Vinkelrett er definert som en linje som lager en rett vinkel med en annen linje. Med andre ord betyr vinkelrett linje linjene som danner en vinkel på 90 grader. Den korteste avstanden mellom punktet og linjen er den vinkelrette linjen mellom dem. En perpendikulær gjør 90 grader med den andre linjen. Linjen AB og PQ som vist på bildet under er vinkelrett på hverandre fordi de skjærer hverandre i 90 grader.

Linjen AB og CD lagt til i bildet nedenfor viser to vinkelrette linjer.

Hva er vinkelrette linjer?

Perpendikulære linjer betyr linjene som skjærer hverandre i en vinkel lik 90 grader, det vil si at hvis to linjer møtes i en rett vinkel kalles de vinkelrette linjer. Ta figuren som er lagt til nedenfor her, linjen l og linjen m skjærer hverandre i punktet O og vinkelen laget av dem er 90 grader.

Dermed kan vi si at l er en linje vinkelrett på m linje eller linje m er vinkelrett på linje l. Vi representerer denne tilstanden som, l ⊥ m. Nå er enhver linje parallelt med linje l vinkelrett på linjen m. Den korteste avstanden mellom punktet og linjen er alltid den vinkelrette avstanden mellom dem.

Merk: Ikke alle de kryssende linjene er vinkelrette linjer, men alle de vinkelrette linjene er kryssende linjer.

Vinkelrett skilt

Vinkelrette linjer er representert ved hjelp av symbolet '⊥'. Hvis linjene l og m er vinkelrette på hverandre, dvs. de skjærer hverandre i 90 grader, kalles de vinkelrette linjer og de er representert som, l ⊥ m. Skjæringspunktet kalles foten av perpendikulæren.

Vinkelrette former

Prependikulære former kan sees rundt oss i vårt daglige liv. I vinkelrette former er formene der den minst ene vinkelen er 90°. Ulike former som har vinkelrette linjer (vinkelrette former) er,

• Torget
• Rektangel
• Rettvinklet trekant

Egenskaper til vinkelrette linjer

Alle to kryssende linjer som krysser i en vinkel på 90 grader kalles vinkelrette linjer. Vinkelrette linjer har andre egenskaper enn de kryssende linjene og de generelle egenskapene til de kryssende linjene er,

• Vinkelrette linjer er linjene som alltid skjærer hverandre i rett vinkel.
• Hvis to linjer er vinkelrette på samme linje, er disse to linjene alltid parallelle med hverandre.

Helning av vinkelrette linjer

Helningen til en hvilken som helst linje er brunfargen til vinkelen som dannes av linjen med den positive x-aksen, og helningen i tilfellet med de vinkelrette linjene har en spesiell relasjon mellom dem.

Anta at vi har to linjer PQ og RS som er vinkelrett på hverandre. Nå er helningen til linjen PQ si m₁og helningen til linjen RS er si m₂, da er produktet av bakkene lik -1. Utsagnet for det samme er,

Uttalelse: To linjer er vinkelrette på hverandre hvis produktet av helningen deres er -1.

Dette kan representeres som

m ₁ .m ₂ = -1

Formel for vinkelrette linjer

De to grunnleggende formlene for vinkelrett linje er diskutert nedenfor,

Utsagn 1: Produktet av helningen til en vinkelrett linje med helningen til den opprinnelige linjen er alltid -1 .

Bevis:

Lar den opprinnelige linjen lage en vinkel på θ med X-aksen.

Da vil linjen vinkelrett på linjen lage en vinkel på θ + 90° eller θ – 90° med X-aksen.

Nå er helningen til den opprinnelige linjen lik tan θ

'murerens formel'

Helningen til den vinkelrette linjen er lik enten tan (θ + 90^O) eller brun (θ – 90^O)

brun (θ + 90 ^O ) = brun (θ – 90 ^O ) = -seng i

Dermed er helningen til den perpendikulære linjen -cot θ

Nå,

Produkt av skråninger = tan θ × (-cot θ) = -1

Derfor bevist

Utsagn 2: Hvis ligningen til en linje er ax + by + c = 0

Da er ligningen til en linje vinkelrett på den gitte linjen,

– bx + ay + d = 0

hvor, c og d er noen konstante verdier

Bevis:

Linjens ligning er ax + by + c = 0

Helningen av linjen er -a/b

La helningen til den vinkelrette linjen være m

Vi vet at produktet av helningen til to vinkelrette linjer er -1

m × (-a / b) = – 1

m = b/a

Nå, hvis den vinkelrette linjen går gjennom et punkt (x₁, og₁), så er ligningen til den vinkelrette linjen,

(og – og₁) / (x – x₁) = b / a

og – og₁= (b/a) × (x – x₁)

er – er₁= bx – bx₁

– bx + er + (bx₁- er₁) = 0 {la bx₁- er₁= d}

Dermed er nødvendig ligning av linjen,

– bx + ay + d = 0

Hvordan tegne vinkelrette linjer?

Vi kan enkelt konstruere paret av den perpendikulære linjen ved å bruke gradskiven og kompasset.

Tegn vinkelrette linjer med gradskive

For å tegne et par vinkelrette linjer følg trinnene som er diskutert nedenfor,

Trinn 1: Tegn først en horisontal linje AB på papiret ved hjelp av en linjal.

Steg 2: Merk et hvilket som helst punkt P på linjen AB som vi må tegne den vinkelrette linjen fra.

Trinn 3: Plasser beskytteren på linjen og match midtpunktet på beskytteren med punktet P på linjen.

Trinn 4: Marker 90-graders vinkelen ved hjelp av beskytteren.

Trinn 5: Fest linjen ved å bruke en linjal med 90 graders vinkel, for å få et par vinkelrette linjer.

Tegn vinkelrett linje med kompass

Følgende er trinnene for å lage vinkelrette linjer ved hjelp av et kompass

Trinn 1: Tegn en linje på papiret med en linjal

Steg 2: Ta et punkt på linjen og plasser nålen til kompasset på den.

Trinn 3: Tegn en bue (en halvsirkel) på den ene siden av linjen.

Trinn 4: Uten å endre radiusen til kompasset, plasser nå nålen på den ene enden av halvsirkelens diameter.

Trinn 5: Treskjær den halvsirkelformede buen ved å kutte den to ganger. Det første snittet markerer 60° og det andre snittet markerer 120°

Trinn 6: Det er en forskjell på 60° mellom første og andre kutt. Halver dette gapet ved hjelp av kompasset uten å endre radius.

Trinn 7: Koble nå til halveringspunktet av 60 og 120 med punktet som opprinnelig ble antatt å tegne den halvsirkelformede buen.

Trinn 8: Linjen tegnet på denne måten er vinkelrett på startlinjen.

Eksempler på vinkelrette linjer

Vinkelrette linjer er linjene som alltid møter hverandre i 90 grader. Vi ser forskjellige eksempler på parallelle linjer i det virkelige liv, noen av dem er,

• Hjørnene på rommene er vinkelrette på hverandre.
• Klokkens visere representerer vinkelrette linjer ved klokken 3′.
• Hjørnene på bordet og skrivebordet representerer de vinkelrette linjene.

Vinkelrette og parallelle linjer

Vinkelrette linjer er linjene som danner en vinkel på 90° med hverandre, der parallelle linjer er linjene som er parallelle med hverandre, det vil si at de er like langt fra hverandre og aldri krysser hverandre.

Merk: Parallelle linjer møtes på Infinity .

Helning av parallelle og vinkelrette linjer

Helningen til parallelle linjer er like, mens produktet av helningen til vinkelrette linjer er -1.

Ligninger av parallelle og perpendikulære linjer

Hvis to linjer er parallelle, er linjelikningen deres,

• ax + by + c = 0 og ax + by + d = 0

Mens ligningen av to perpendikulære er,

• ax + by + c = 0, og -bx + ax + d = 0

Hva er parallelle linjer?

Parallelle linjer i geometri er definert som linjene som ikke møter hverandre i 2-D-planet, det vil si at de aldri krysser hverandre i 2-D-planet. Avstanden mellom de to parallelle linjene er alltid konstant. Bildet lagt til nedenfor viser to par parallelle linjer.

Linjene a, b og x og y er parallelle med hverandre.

Forskjellen mellom parallelle linjer og vinkelrette linjer

Parallelle linjer vs vinkelrette linjer er omtalt i tabellen nedenfor.

Perpendikulær linjeligning

Standarden ligning av en linje er ax + by + c = 0 og linjen vinkelrett på den gitte linjen er gitt ved å bruke,

-bx + ay + d = 0

hvor, d er den konstante verdien og dens verdi er funnet ved å bruke den andre betingelsen gitt.

Perpendicular Line Slope

Anta at vi får en linje hvis ligning har formen y = mx + c og dens helning er m, så er helningen til linjen vinkelrett på den gitte linjen,

Helning av vinkelrett linje = -1/m

Nå hvis helningen til to linjer er m₁og M₂da er forholdet mellom disse to bakkene, m ₁ m ₂ = -1

Les mer,

• Parallelle linjer
• Tverrgående linjer
• Egenskaper til parallelle linjer

Eksempler på vinkelrette linjer

Eksempel 1: Er linjene 3x + 2y + 5 = 0 og 2x – 3y + 8 = 0 vinkelrette?

Løsning:

Helningen til linjen ax + by + c = 0 er -a/b

• Helningen til linjen 3x + 2y + 5 = 0 er m₁= – 3/2.
• Helningen til linjen 2x – 3y + 8 = 0 er m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Vi vet at linjer er vinkelrette hvis skråningene deres har tilstanden.

m₁× m₂= -1

Nå fra tilstanden ovenfor,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Produktet av bakkene er -1 og dermed er linjene vinkelrette.

Eksempel 2: Finn linjen vinkelrett på linjen x + 2y + 5 = 0 og passer gjennom punktet (2, 5).

Løsning:

Vi vet at ligningen til en linje vinkelrett på linjen ax + by + c = 0 er – bx + ay + d = 0.

Den gitte likningen av linjen er x + 2y + 5 = 0

Ved å sammenligne linjen x + 2y + 5 = 0 med ax + by + c = 0 får vi,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Dermed er ligningen til enhver linje vinkelrett på denne linjen – 2x + y + d = 0...(i)

Gitt at denne linjen går gjennom (2, 5),

Ved å sette (2, 5) i denne ligningen av den vinkelrette linjen

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Ved å erstatte verdien av d i eq(i), får vi

-2x + y + (-1) = 0

Dermed er ligningen til den vinkelrette linjen -2x + y – 1 = 0

Eksempel 3: Finn helningen til linjen vinkelrett på linjen 3x + 9y + 7 = 0.

Løsning:

gitt,

Linjens ligning er 3x + 9y + 7 = 0

Helningen til denne linjen = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

La stigningen på ine vinkelrett på over linjen er m

Bruker nå den vinkelrette linjeformelen

m × (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

Dermed er helningen til linjen vinkelrett på den gitte linjen 3.

Eksempel 4: Finn vinkelen til en linje vinkelrett på linjen x + y + 3 = 0.

Løsning:

gitt linje,

x + y + 3 = 0

Helning på gitt linje = -a/b = – 1 / 1 = – 1

La oss, helningen til linjen vinkelrett på linjen ovenfor er m

Fra vinkelrett linjeformel,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Linjevinkelen vinkelrett på den gitte linjen er θ, da

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Derfor er vinkelen laget av vinkelrett linje med X-aksen 45°.

Perpendikulære øvingsproblemer

Q1. Finn vinkelen til en linje vinkelrett på linjen 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Hvis en linje går gjennom punktene (11, –4) og (–1, 8) og en annen linje går gjennom punktene (8, 3) og (–1, -3). Sjekk om disse linjene er parallelle eller vinkelrette.

Q3. Finn ligningen for linjen som er vinkelrett på 5x − 7y = 5 og går gjennom punktet (-1, 8).

Q4. Finn ligningen for linjen som går gjennom (2, 3) og vinkelrett på x-aksen.

Vinkelrette linjer – vanlige spørsmål

Hva er de vinkelrette linjene?

Hvis to kryssende linjer skjærer hverandre i rette vinkler, dvs. i 90 grader, kalles disse to linjene vinkelrette linjer.

Hva er parallelle og vinkelrette linjer?

Parallelle linjer er linjene som ikke møter hverandre i 2-D-planet. Avstanden mellom to parallelle linjer er alltid konstant. Mens to linjer møter hverandre i 90 grader, kalles disse linjene vinkelrette linjer.

Er kryssende linjer alltid vinkelrett?

Nei, ikke alle kryssende linjer er alltid vinkelrette, de kan være vinkelrette eller ikke. De kryssende linjene kan møtes i forskjellige vinkler.

Hva er betingelsen for skråning av perpendikulære linjer?

Anta at helningen til to linjer er m₁og M₂da er tilstanden til bakkene til to vinkelrette linjer, m ₁ .m ₂ = -1

Hvor mange vinkelrette linjer kan tegnes til en linje?

Vi kan tegne et hvilket som helst antall vinkelrette linjer til en linje, det vil si at vi kan ha uendelige vinkelrette linjer til en hvilken som helst linje.

Når er to linjer vinkelrett?

To linjer er vinkelrette hvis de skjærer 90°, dvs. vinkelrette linjer skjærer alltid i rett vinkel.

Hva er en vinkelrett trekant?

En trekant som har en vinkel lik 90° kalles den vinkelrette trekanten. Det kalles også den rettvinklede trekanten.

Hva er noen vinkelrette former?

Noen former som kalles de vinkelrette formene er formene som har minst en vinkelrett i seg. Ulike eksempler på de vinkelrette formene er, kvadrat, rektangel, rettvinklet trekant

Hva er vinkelrette vinkler?

Vinklene som er lik 90° kalles vinkelrette vinkler. Det andre navnet på de vinkelrette vinklene er rette vinkler.

Hva er det vinkelrette symbolet?

Symbolet eller tegnet som representerer vinkelrett er, ⟂. Vi bruker dette symbolet for å vise om to linjer er vinkelrette. For eksempel, hvis det er skrevet A⟂B, hvor A og B er to linjer, så er linje A vinkelrett på linje B og omvendt.

Hvordan identifiserer du hvilke linjer som er vinkelrette?

Hvis vinkelen mellom to linjer er 90°. Da kan vi si at disse to linjene er vinkelrette. Hvis helningen til de to linjene er gitt som, m₁, m₂så bruker vi vinkelrett linjeformelen for å finne ut om de er vinkelrette eller ikke. Formelen for vinkelrett linje er m₁.m₂= -1

Hvordan finne helningen til de vinkelrette linjene?

Helningen til de vinkelrette linjene kan enkelt beregnes ved hjelp av helningsformelen. Anta at vi får en linje, så konverterer vi den først i standardformen og bruker deretter helningsformelen for å finne helningen. Helningsformelen er, m = -b/a, der a er koeffisienten til x og b er koeffisienten til y.