Rangering av en matrise er definert som dimensjonen til vektorrommet dannet av kolonnene. Rangering av en matrise er et veldig viktig konsept innen lineær algebra, da det hjelper oss å vite om vi kan finne en løsning på ligningssystemet eller ikke. Rangeringen av en matrise hjelper oss også å vite dimensjonaliteten til vektorrommet.

Denne artikkelen utforsker konseptet med rangeringen av en matrise i detalj, inkludert dens definisjon, hvordan man beregner rangeringen av matrisen så vel som en nullitet og dens forhold til rangering. Vi vil også lære hvordan du løser noen problemer basert på rangeringen av en matrise. Så la oss starte med definisjonen av rangeringen av matrisen først.

Innholdsfortegnelse

• Hva er Rank of Matrix?
• Hvordan beregne rangering av en matrise?
• Egenskaper for rangering av matrise
• Eksempler på rangering av en matrise
• Vanlige spørsmål

Hva er Rank of Matrix?

Rangering av en matrise er et grunnleggende konsept i lineær algebra, som måler det maksimale antallet lineært uavhengige rader eller kolonner i en hvilken som helst matrise. Med andre ord, den forteller deg hvor mange av radene eller kolonnene i en matrise som ikke er nyttige og bidrar til den generelle informasjonen eller dimensjonaliteten til matrisen. La oss definere rangeringen av en matrise.

Rangering av en matrisedefinisjon

Rangeringen av en matrise er definert som antall lineært uavhengige rader i en matrise .

vikas diviakirti

Det er betegnet med ρ(A) hvor A er en hvilken som helst matrise. Dermed er antallet rader i en matrise en grense for rangeringen av matrisen, noe som betyr at rangeringen av matrisen ikke kan overstige det totale antallet rader i en matrise.

For eksempel, hvis en matrise er av størrelsesorden 3×3, kan maksimal rangering av en matrise være 3.

Merk: Hvis en matrise har alle rader med null elementer, så sies rangeringen av en matrise å være null.

Nullitet av matrise

I en gitt matrise kalles antall vektorer i nullrommet nulliteten til matrisen, eller det kan også defineres som dimensjonen til nullrommet til den gitte matrisen.

Totalt antall kolonner i en matrise = Rangering + Nullitet

Les mer om Nullitetsteorem for rangering .

Hvordan beregne rangering av en matrise?

Det er 3 metoder som kan brukes for å få rangeringen til en gitt matrise. Disse metodene er som følger:

• Mindre metode
• Bruker Echelon Form
• Bruker normal form

La oss diskutere disse metodene i detalj.

Mindre metode

Forutsetning: Mindreårige av Matrix

For å finne rangeringen til en matrise ved å bruke mindre metode, følges følgende trinn:

• Regn ut determinanten til matrisen (si A). Hvis det(A) ≠ 0, så er rangeringen av matrise A = rekkefølgen av matrise A.
• Hvis det(A) = 0, så er rangeringen av matrisen lik rekkefølgen av den maksimalt mulige ikke-null-moll av matrisen.

La oss forstå hvordan du finner rangeringen av matrisen ved å bruke mindre metode.

Eksempel: Finn rangeringen av matrisen egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} ved hjelp av mindre metode.

GittA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Trinn 1: Regn ut determinanten til A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Som det(A) ≠ 0, ρ(A) = rekkefølgen av A = 3

Bruker Echelon Form

Den mindre metoden blir veldig kjedelig hvis rekkefølgen på matrisen er veldig stor. Så i dette tilfellet konverterer vi matrisen til Echelon Form. En matrise som er inne øvre trekantform eller nedre trekantform anses å være i Echelon-form. En matrise kan konverteres til sin Echelon-form ved å bruke elementære radoperasjoner . Følgende trinn følges for å beregne rangeringen til en matrise ved hjelp av Echelon-skjemaet:

• Konverter den gitte matrisen til Echelon-formen.
• Antall rader som ikke er null oppnådd i Echelon-formen av matrisen er rangeringen av matrisen.

La oss forstå hvordan du finner rangeringen av matrisen ved å bruke mindre metode.

Eksempel: Finn rangeringen av matrisen egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} ved hjelp av Echelon-formmetoden.

GittA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Trinn 1: Konverter A til echelonform

Påfør R₂= R₂– 4R₁

Påfør R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Påfør R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Siden matrise A nå er i lavere trekantet form, er den i Echelon-form.

• Trinn 2: Antall rader som ikke er null i A = 2. Dermed ρ(A) = 2

Bruker normal form

En matrise sies å være i normal form hvis den kan reduseres til formen egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Her jeg_rrepresenterer identitetsmatrisen av orden r. Hvis en matrise kan konverteres til sin normale form, sies rangeringen av matrisen å være r.

La oss forstå hvordan du finner rangeringen av matrisen ved å bruke mindre metode.

Eksempel: Finn rangeringen av matrisen old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} ved bruk av vanlig formmetode.

GittA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Påfør R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁og R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁– 2R₂og R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁+ R₃og R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Påfør C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Dermed kan A skrives som egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Dermed er ρ(A) = 3

java string concat

Egenskaper for rangering av matrise

Egenskaper for rangering av matrise er som følger:

• Rangeringen av en matrise er lik rekkefølgen til matrisen hvis den er en ikke-singular matrise.
• Rangeringen av en matrise er lik antall rader som ikke er null hvis den er i Echelon-form.
• Rangeringen av matrisen er lik rekkefølgen av identitetsmatrisen i den hvis den er i normal form.
• Rangering av matrise
• Rangering av matrise
• Rangeringen av identitetsmatrisen er lik rekkefølgen til identitetsmatrisen.
• Rangeringen av en nullmatrise eller en nullmatrise er null.

Les mer,

• Typer matriser
• Transponere en matrise
• Invers av matrise

Eksempler på rangering av en matrise

OG eksempel 1: Finn rangeringen av matrisen old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} ved hjelp av mindre metode.

Løsning:

GittA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Trinn 1: Regn ut determinanten til A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Som det(A) ≠ 0, ρ(A) = rekkefølgen av A = 3

Eksempel 2. Finn rangeringen av matrisen old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} ved hjelp av mindre metode.

Løsning:

GittA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Trinn 1: Regn ut determinanten til A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Som det(A) ≠ 0, ρ(A) = rekkefølgen av A = 3

Eksempel 3. Finn rangeringen av matrisen old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} ved hjelp av Echelon-formmetoden.

streng til int java

Løsning:

GittA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Trinn 1: Konverter A til echelonform

Påfør R₂= R₂– 4R₁

Påfør R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Påfør R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Siden matrise A nå er i lavere trekantet form, er den i Echelon-form.

Trinn 2: Antall rader som ikke er null i A = 2. Dermed ρ(A) = 2

Eksempel 4. Finn rangeringen av matrisen old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} ved hjelp av Echelon-formmetoden.

Løsning:

GittA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Trinn 1: Konverter A til echelonform

Påfør R₂= R₂– 4R₁

Påfør R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Påfør R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Siden matrise A nå er i lavere trekantet form, er den i Echelon-form.

Trinn 2: Antall rader som ikke er null i A = 2. Dermed ρ(A) = 2

Eksempel 5. Finn rangeringen av matrisen old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} ved bruk av vanlig formmetode.

Løsning:

GittA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Påfør R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁og R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁– 2R₂og R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁+ R₃og R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Påfør C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Dermed kan A skrives somegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Dermed er ρ(A) = 3

Rangering av en matrise – Vanlige spørsmål

Definer rangering av en matrise.

Rangering av en matrise er definert som antall lineært uavhengige rader i en matrise. Det er betegnet med ρ(A) hvor A er en hvilken som helst matrise.

Hvordan finne rangeringen til en matrise?

Rangering av matrise kan beregnes ved hjelp av ulike metoder som:

• Mindre metode
• Bruker Echelon Form
• Bruker normal form

Hva er rangeringen av matrise hvis determinant av matrise ikke er lik null?

Hvis determinanten for en matrise er null, er rangeringen av matrisen lik rekkefølgen til matrisen.

Når sies en matrise å være i Echelon-form?

En matrise som er i øvre trekantform eller i nedre trekantform sies å være i echelonform.

Hva er normal form av matrisen?

En matrise sies å være i normal form hvis den kan skrives som egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} hvor jeg_rer identitetsmatrisen til ordenen 'r'.

Hva er rangeringen av nullmatrise?

Rangeringen av en nullmatrise er null.

Hva er rangeringen til en identitetsmatrise?

Rangeringen av en identitetsmatrise er lik rekkefølgen til matrisen.

hva er en stack i java

Hva er forholdet mellom nullitet og rangering av en matrise?

Forholdet mellom nullitet og rangering av en matrise er:

Totalt antall kolonner i en matrise = Rangering + Nullitet