logo

TechCodeview

Lignende trekanter

Lignende trekanter er trekanter med samme form, men kan ha forskjellige størrelser. Lignende trekanter har tilsvarende sider i forhold til hverandre og tilsvarende vinkler lik hverandre. Lignende trekanter er forskjellige fra kongruente trekanter. To kongruente figurer er alltid like, men to like figurer trenger ikke være kongruente.

To trekanter anses like når deres korresponderende vinkler samsvarer og sidene deres er proporsjonale. Dette betyr at like trekanter har samme form, selv om størrelsen kan variere. På den annen side er trekanter definert som kongruente når de ikke bare deler samme form, men også har tilsvarende sider som er identiske i lengde.



La oss nå lære mer om lignende trekanter og deres egenskaper med løste eksempler og andre i detalj i denne artikkelen.

Innholdsfortegnelse

Hva er lignende Trekanter?

Lignende trekanter er trekanter som ligner på hverandre, men størrelsen kan være forskjellig. Lignende gjenstander har samme form, men forskjellige størrelser. Dette innebærer at lignende former, når de forstørres eller forstørres, bør legges over hverandre. Denne egenskapen med lignende former er kjent som Likheten .



Det er tre lignende trekantteoremer:

  • AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
  • SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
  • SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Lignende trekanter Definisjon

To trekanter kalles like trekanter hvis deres tilsvarende vinkler er like og de tilsvarende sidene er i samme proporsjon. De tilsvarende vinklene til to like trekanter må være like. Lignende trekanter kan ha forskjellige respektive lengder på sidene i trekanten, men forholdet mellom lengder på tilsvarende sider må være det samme.

Når to trekanter er like, betyr det at:



git pull syntaks
  • Alle par med tilsvarende vinkler i trekantene er like.
  • Alle par med tilsvarende sider i trekanten er proporsjonale.

Symbolet ∼ brukes til å representere likheten mellom like trekanter. Så når to trekanter er like, skriver vi det som △ABC ∼ △DEF.

Eksempler på lignende trekanter

Ulike eksempler på lignende trekanter er:

  • Hvis vi tar to trekanter som har sider i forholdet, er de like trekanter.
  • Flaggstengene og deres skygger representerer lignende trekanter.

Trekantene vist på bildet nedenfor er like og vi representerer dem som △ABC ∼ △PQR.

Lignende trekanter

Grunnleggende proporsjonalitetsteorem (Thales-teorem)

Grunnleggende proporsjonalitetsteorem, også kjent som Thales' teorem, er et grunnleggende begrep innen geometri som er relatert til likheten mellom trekanter. Den sier at hvis en linje er trukket parallelt med den ene siden av en trekant, deler den de to andre sidene proporsjonalt. I enklere termer, hvis en linje parallelt med den ene siden av en trekant skjærer de to andre sidene, deler den disse sidene proporsjonalt.

Matematisk, hvis en linje DE er trukket parallelt med den ene siden av trekanten ABC, som skjærer sidene AB og AC i henholdsvis punktene D og E, så ifølge den grunnleggende proporsjonalitetsteoremet:

BD/DA = CE/HER

Denne teoremet er en konsekvens av likheten mellom trekanter som dannes av den parallelle linjen og sidene til den opprinnelige trekanten. Spesifikt er trekanter ADE og ABC, samt trekanter ADC og AEB, like på grunn av at tilsvarende vinkler er like. Følgelig er forholdet mellom tilsvarende sider i like trekanter like, noe som fører til proporsjonalitetsforholdet beskrevet av Grunnproporsjonalitetsteoremet.

Grunnleggende proporsjonalitetsteorem er mye brukt i geometri og trigonometri for å løse ulike problemer som involverer parallelle linjer og trekanter. Det fungerer som et grunnleggende prinsipp for å forstå egenskapene til lignende trekanter og forholdet mellom deres tilsvarende sider og vinkler. I tillegg danner det grunnlaget for mer avanserte konsepter innen geometri, som Parallel Lines Theorem og anvendelser i ulike geometriske konstruksjoner og bevis.

Kriterier for lignende trekanter

Hvis to trekanter er like, må de oppfylle en av følgende regler:

  • To par tilsvarende vinkler er like. (AA-regel)
  • Tre par tilsvarende sider er proporsjonale. (SSS-regel)
  • To par tilsvarende sider er proporsjonale og de tilsvarende vinklene mellom dem er like. (SAS-regel)

Les i detalj: Kriterier for lignende trekanter

Lignende trekanter formel

I den siste delen studerte vi to forhold som vi kan bruke for å verifisere om de gitte trekantene er like eller ikke. Betingelsene er når to trekanter er like; deres tilsvarende vinkler er like, eller de tilsvarende sidene er i proporsjon. Ved å bruke begge betingelsene kan vi bevise at △PQR og △XYZ er like fra følgende sett med lignende trekantformler.

Formel for lignende trekanter i geometri

I △PQR og △XYZ hvis,

  1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
  2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

De to trekantene ovenfor er like, dvs. △PQR ∼ △XYZ.

Lignende trekantregler

Likhetsteoremene hjelper oss å finne ut om de to trekantene er like eller ikke. Når vi ikke har mål på vinkler eller sidene til trekantene, bruker vi likhetsteoremene.

Det er tre hovedtyper av likhetsregler, som gitt nedenfor:

  • AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
  • SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
  • SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Angle-Angle (AA) eller AAA Similarity Theorem

AA likhetskriterium sier at hvis to vinkler i en trekant er lik to vinkler i en annen trekant, må de være like trekanter. En likhetsregel er lett å bruke når vi bare vet målet på vinklene og ikke har noen anelse om lengden på sidene i trekanten.

I bildet gitt nedenfor, hvis det er kjent at ∠B = ∠G, og ∠C = ∠F:

Og vi kan si at ved AA-likhetskriteriet er △ABC og △EGF like eller △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF og ∠A = ∠E.

Side-Angle-Side eller SAS Similarity Theorem

I følge SAS likhetsteoremet, hvis noen av to sider av den første trekanten er i nøyaktig proporsjon med de to sidene i den andre trekanten sammen med vinkelen som dannes av disse to sidene av de individuelle trekantene er like, må de være like trekanter. Denne regelen brukes vanligvis når vi bare kjenner målet på to sider og vinkelen som dannes mellom de to sidene i begge trekanter.

I bildet nedenfor, hvis det er kjent at AB/DE = AC/DF, og ∠A = ∠D

Og vi kan si at ved SAS likhetskriteriet er △ABC og △DEF like eller △ABC ∼ △DEF.

Side-Side-Side eller SSS Similarity Theorem

I følge SSS likhetsteoremet vil to trekanter være like hverandre hvis det tilsvarende forholdet mellom alle sidene i de to trekantene er like. Dette kriteriet brukes ofte når vi bare har mål på sidene i trekanten og har mindre informasjon om vinklene i trekanten.

På bildet gitt nedenfor, hvis det er kjent at PQ/ED = PR/EF = QR/DF

Og vi kan si at ved SSS-likhetskriteriet er △PQR og △EDF like eller △PQR ∼ △EDF.

Lignende trekanters egenskaper

Lignende trekanter har ulike egenskaper som er mye brukt for å løse ulike geometriske problemer. Noen av de vanlige egenskapene til lignende trekant:

  • Formen på lignende trekanter er fast, men størrelsene kan være forskjellige.
  • Tilsvarende vinkler av like trekanter er like.
  • Tilsvarende sider av lignende trekanter er i vanlige forhold.
  • Forholdet mellom arealet av lignende trekanter er lik kvadratet på forholdet til deres tilsvarende side.

Hvordan finne lignende trekanter?

To gitte trekanter kan bevises som like trekanter ved å bruke de ovennevnte teoremene. Vi kan følge trinnene nedenfor for å sjekke om de gitte trekantene er like eller ikke:

Trinn 1: Noter de gitte dimensjonene til trekantene (tilsvarende sider eller tilsvarende vinkler).

Steg 2: Sjekk om disse dimensjonene følger noen av betingelsene for lignende trekantteoremer (AA, SSS, SAS).

Trinn 3 : De gitte trekantene, hvis de tilfredsstiller noen av likhetsteoremene, kan representeres ved å bruke ∼ for å betegne likhet.

Dette kan forstås bedre ved hjelp av følgende eksempel:

Eksempel: Sjekk om △ABC og △PQR er like trekanter eller ikke bruker de gitte dataene: ∠A = 65°, ∠B = 70º og ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Ved å bruke gitt måling av vinkler kan vi ikke konkludere om de gitte trekantene følger AA-likhetskriteriet eller ikke. La oss finne målet på den tredje vinkelen og vurdere den.

Vi vet, ved å bruke vinkelsum-egenskapen til en trekant, ∠C i △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

Tilsvarende er ∠Q i △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Derfor kan vi konkludere med at i △ABC og △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P, og ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Arealet av lignende trekanter – Teorem

Lignende Triangle Area Theorem sier at for to like trekanter er forholdet mellom arealet av trekantene proporsjonalt med kvadratet av forholdet mellom deres tilsvarende sider. Anta at vi får to like trekanter, ΔABC og ΔPQR da

I følge lignende trekantteorem:

(Area av ΔABC)/(Area av ΔPQR) = (AB/PQ) 2 = (BC/QR) 2 = (CA/RP) 2

Forskjellen mellom lignende trekanter og kongruente trekanter

Lignende trekanter og kongruente trekanter er to typer trekanter som er mye brukt i geometri for å løse ulike problemer. Hver type trekant har forskjellige egenskaper, og den grunnleggende forskjellen mellom dem er diskutert i tabellen nedenfor.

Lignende trekanter

"hva er forskjellen mellom en løve og en tiger"

Kongruente trekanter
Lignende trekanter er trekanter som har like tilsvarende vinkler. Kongruente trekanter er trekanter som har like tilsvarende vinkler og like tilsvarende sider.
Lignende trekanter har samme form, men størrelsen kan være den samme eller ikke Kongruente trekanter har samme størrelse og samme areal.
Lignende trekanter er ikke overlagrede bilder av hverandre før de er forstørret eller forstørret. Kongruente trekanter er overlagrede bilder av hverandre hvis de er arrangert i riktig orientering.
Lignende trekanter er representert med '~' symbol. Kongruente trekanter er representert med ≅ ’ symbol.
Deres tilsvarende sider er i forholdet. Deres tilsvarende sider er like.

Anvendelser av lignende trekanter

Ulike anvendelser av den lignende trekanten som vi ser i det virkelige liv er,

  • Skygge og høyde av forskjellige objekter beregnes ved å bruke konseptet med lignende trekanter.
  • Kartskalering bruker konseptet med den lignende trekanten.
  • Fotografiske enheter bruker lignende trekantegenskaper for å ta forskjellige bilder.
  • Model Making bruker konseptet med lignende trekanter.
  • Navigasjon og trigonometri bruker også den lignende trekanttilnærmingen for å løse ulike problemer osv.

Folk ser også på:

Kongruens av trekanter

Trekantområdet

Rettvinklet trekant

Omkrets av trekanten

Viktige merknader om lignende trekanter:

  • Forholdet mellom arealer av like trekanter er lik kvadratet på forholdet mellom deres tilsvarende sider.
  • Alle kongruente trekanter er like, men alle like trekanter er ikke nødvendigvis kongruente.
  • denne ' ~ ’-symbolet brukes til å betegne lignende trekanter.

Løste spørsmål om lignende trekanter

Spørsmål 1: I den gitte figur 1, DE || f.Kr. Hvis AD = 2,5 cm, DB = 3 cm og AE = 3,75 cm. Finne AC?

Løsning:

I △ABC, DE || B.C.

AD/DB = AE/EC (ved Thales' teorem)

2,5/3 = 3,75/x, hvor EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

hvordan konvertere fra streng til int

Derfor er AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Spørsmål 2: I figur 1 DE || f.Kr. Hvis AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm og AC = 9 cm. Finne AE?

Løsning:

La AE = x cm.

I △ABC, DE || B.C.

Ved Thales teorem har vi,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Derfor AE = 2,25 cm

Spørsmål 3: Bevis at en linje trukket gjennom midtpunktet på en side av en trekant (figur 1) parallelt med en annen side, halverer den tredje siden.

Løsning:

Gitt en ΔΑΒC der D er midtpunktet til AB og DE || BC, møte AC ved E.

Å BEVISE AE = EC.

Bevis: Siden DE || BC, ved Thales' teorem, har vi:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, gitt)

AE/EC = 1

AE = EC

Spørsmål 4: I den gitte figur 2 er AD/DB = AE/EC og ∠ADE = ∠ACB. Bevis at ABC er en likebenet trekant.

Løsning:

Vi har AD/DB = AE/EC DE || BC [ved det motsatte av Thales' teorem]

∠ADE = ∠ABC (tilsvarende ∠s)

Men, ∠ADE = ∠ACB (gitt).

Derfor er ∠ABC = ∠ACB.

Så AB = AC [sider motsatt av like vinkler].

Derfor er △ABC en likebenet trekant.

Spørsmål 5: Hvis D og E er punkter på henholdsvis sidene AB og AC til △ABC (figur 2), slik at AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm og AE = 1,8 cm, vis at DE | | f.Kr.

Løsning:

Gitt, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm og AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 og AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Derfor, ved omvendt av Thales-teorem, DE || f.Kr.

Spørsmål 6: Bevis at linjestykket som forbinder midtpunktene til alle to sider av en trekant (figur 2) er parallell med den tredje siden.

Løsning:

I △ABC der D og E er midtpunktene til henholdsvis AB og AC.

Siden D og E er midtpunktene til henholdsvis AB og AC, har vi:

AD = DB og AE = EC.

AD/DB = AE/EC (hver lik 1)

Derfor, ved omvendt av Thales-teorem, DE || f.Kr

Viktige matematikkrelaterte lenker:

  • Hva er enkel interesse
  • Tapsformel
  • Vinkel Sum Eiendom
  • Delbarhet med 11
  • Søylediagram
  • Bruk av trigonometri
  • Liste over naturlige tall
  • Pythagoras modell
  • Matteprosjekt for klasse 9

Øvingsspørsmål Lignende trekanter

Q1. I to like trekanter △ABC og △ADE, hvis DE || BC og AD = 3 cm, AB = 8 cm og AC = 6 cm. Finn AE.

Q2. I to like trekanter △ABC og △PQR, hvis QR || BC og PQ = 2 cm, AB = 12 cm og AC = 9 cm. Finn PR.

Q3. I to like trekanter ΔABC og ΔAPQ er lengden på sidene gitt som AP = 9 cm , PB = 12 cm og BC = 24 cm. Finn forholdet mellom arealene til ΔABC og ΔAPQ.

Q4. I to like trekanter ΔABC og ΔAPQ er lengden på sidene gitt som AP = 3 cm, PB = 4 cm og BC = 8 cm. Finn forholdet mellom arealene til ΔABC og ΔAPQ.

Sammendrag – Lignende trekanter

Lignende trekanter er geometriske figurer som deler samme form, men som er forskjellige i størrelse, karakterisert ved like tilsvarende vinkler og proporsjonale tilsvarende sider. Nøkkelteoremer som Angle-Angle (AA), Side-Angle-Side (SAS) og Side-Side-Side (SSS) etablerer kriterier for triangellikhet.

Disse prinsippene er grunnleggende innen felt som ingeniørfag, datagrafikk og arkitektur på grunn av deres evne til å opprettholde formintegritet under skalering. Thales' teorem, eller Basic Proporsjonalitetsteorem, illustrerer hvordan en linje parallelt med den ene siden av en trekant deler de to andre proporsjonalt, og demonstrerer begrepet likhet i trekanter ytterligere.

Lignende trekanter er avgjørende for praktiske bruksområder, alt fra beregning av høyder og avstander i navigasjon til optimalisering av design innen teknologi og konstruksjon, og demonstrerer deres vidtrekkende relevans i både akademiske og virkelige kontekster.

Lignende trekanter – vanlige spørsmål

Hva er lignende trekanter klasse 10?

Lignende trekanter er trekantene som ga alle vinklene like og sidene deres er i et felles forhold. De har en lignende form, men ikke et lignende område.

multiplekser

Hva er formler for lignende trekanter?

Lignende trekantformler er formlene som forteller oss om to trekanter er like eller ikke. For to trekanter △ABC og △XYZ er formelen for lignende trekanter,

  • ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y og ∠C = ∠Z
  • AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Hvilket symbol brukes for å representere lignende trekanter?

Lignende trekanter er representert ved å bruke '~'-symbolet. Hvis to trekanter △ABC og △XYZ er like, representerer vi dem som, △ABC ~ △XYZ, den leses som trekant ABC som ligner trekant XYZ.

Hva er 3 like trekantteoremer?

Vi kan enkelt bevise at to trekanter er like ved å bruke tre trekanter teorem som er,

  • AA (eller AAA) eller Angle-Angle Similarity Theorem
  • SAS eller Side-Angle-Side Similarity Theorem
  • SSS eller Side-Side-Side Similarity Theorem

Hva er egenskapene til lignende trekanter?

De viktige egenskapene til den lignende trekanten er,

  • Lignende trekanter har faste former, men størrelsene kan være forskjellige.
  • Tilsvarende vinkler er like i en lignende trekant.
  • Tilsvarende sider er i vanlige forhold i en lignende trekant.

Hvordan vite om to trekanter er like?

Hvis alle vinklene i en trekant er like, kan vi enkelt si at trekanter er like.

Hvilke trekanter er alltid like?

Trekanten som alltid er lik er en likesidet trekant. Siden alle vinklene i de likesidede trekantene alltid er 60 grader, er alle to likesidede trekanter alltid like.

Hva er areal med lignende trekanter?

Forholdet mellom arealet til to like trekanter er alltid lik forholdet mellom kvadratene på sidene deres. For to trekanter △ABC og △XYZ kan vi si at,

  • område △ABC / område △XYZ = (AB / XY)2

Hva er lignende trekantkriterier?

Kriterier for lignende trekanter er kriteriene der vi kan erklære tre trekanter som like trekanter, og disse tre kriteriene er,

  • AAA-kriterier (Angle-Angle-Criteria)
  • SAS-kriterier (Side-Angle-Side Criteria)
  • SSS-kriterier (Side-Side-Side Criteria)

Hvem er faren til lignende trekanter?

Euclid, den eldgamle greske matematikeren ofte referert til som geometriens far, ga grunnleggende prinsipper for å forstå lignende trekanter i sitt arbeid Elements.

Er lignende trekanter proporsjonale?

Ja, lignende trekanter er proporsjonale. Dette betyr at de tilsvarende sidene i like trekanter er i proporsjon, noe som innebærer at forholdet mellom tilsvarende sider i like trekanter forblir konstant.

Hvilke trekanter er alltid like?

Trekanter som har de samme tre vinklene er alltid like. Dette er en grunnleggende egenskap kjent som Angle-Angle (AA) likhetskriteriet.

Er alle rettvinklede trekanter like?

Nei, ikke alle rette trekanter er like. Mens rette trekanter med de samme spisse vinklene er like, kan lengden på hypotenusen og forholdet mellom sidelengder variere, noe som fører til ulikhet mellom rette trekanter.

Hva er forholdet mellom to like trekanter?

Forholdet mellom to tilsvarende sider i like trekanter forblir konstant. Dette betyr at hvis du tar tilsvarende sider av like trekanter og danner et forhold, vil resultatet alltid være det samme, uavhengig av de spesifikke sidelengdene som er valgt.