Hvis du studerer trig eller kalkulus – eller gjør deg klar til det – må du bli kjent med enhetssirkelen. Enhetssirkelen er et viktig verktøy som brukes til å løse for sinus, cosinus og tangens til en vinkel. Men hvordan fungerer det? Og hvilken informasjon trenger du å vite for å bruke den?

I denne artikkelen forklarer vi hva enhetssirkelen er og hvorfor du bør vite den. Vi gir deg også tre tips som hjelper deg å huske hvordan du bruker enhetssirkelen.

Funksjonsbilde: Gustavb /Wikimedia

Enhetssirkelen: En grunnleggende introduksjon

Enhetssirkelen er en sirkel med radius 1. Dette betyr at for enhver rett linje trukket fra midtpunktet av sirkelen til et hvilket som helst punkt langs kanten av sirkelen, vil lengden på den linjen alltid være lik 1. (Dette betyr også at diameteren til sirkelen vil være lik 2, siden diameteren er lik to ganger lengden på radien.)

Typisk, senterpunktet til enhetssirkelen er der x-aksen og y-aksen skjærer hverandre, eller ved koordinatene (0, 0):

Enhetssirkelen, eller triggsirkelen som den også kalles, er nyttig å vite fordi den lar oss enkelt beregne cosinus, sinus og tangens for enhver vinkel mellom 0° og 360° (eller 0 og 2π radianer).

Som du kan se i diagrammet ovenfor, ved å tegne en radius i en hvilken som helst vinkel (merket med ∝ i bildet), vil du lage en rettvinklet trekant. På denne trekanten er cosinus den horisontale linjen, og sinus er den vertikale linjen. Med andre ord, kosinus =x-koordinat, og sinus = y-koordinat. (Trekantens lengste linje, eller hypotenusen, er radius og er derfor lik 1.)

Hvorfor er alt dette viktig? Husk at du kan løse lengdene på sidene i en trekant ved å bruke Pythagoras teorem, eller $a^2+b^2=c^2$ (hvori en og b er lengdene på sidene i trekanten, og c er lengden på hypotenusen).

Vi vet at cosinus til en vinkel er lik lengden på den horisontale linjen, sinus er lik lengden på den vertikale linjen, og hypotenusen er lik 1. Derfor kan vi si at formelen for en rettvinklet trekant i enhetssirkelen er som følger:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Siden ^2=1$, kan vi forenkle denne ligningen slik:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Vær klar over at disse verdiene kan være negative avhengig av vinkelen som dannes og hvilken kvadrant x- og y-koordinatene faller i (jeg skal forklare dette mer detaljert senere).

Her er en oversikt over alle hovedvinkler i grader og radianer på enhetssirkelen:

Enhetssirkel — grader

Enhetssirkel — Radianer

Men hva om det ikke dannes noen trekant? La oss se på hva skjer når vinkelen er 0°, og skaper en horisontal rett linje langs x-aksen:

På denne linjen er x-koordinaten lik 1 og y-koordinaten lik 0. Vi vet at cosinus er lik x-koordinaten, og sinus er lik y-koordinaten, så vi kan skrive dette:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Hva om vinkelen er 90° og danner en perfekt vertikal linje langs y-aksen?

Her kan vi se at x-koordinaten er lik 0 og y-koordinaten er lik 1. Dette gir oss følgende verdier for sinus og cosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Dette slagordet gjelder definitivt hvis du ikke er en matteelsker.

Hvorfor du bør kjenne enhetssirkelen

Som nevnt ovenfor er enhetssirkelen nyttig fordi det lar oss enkelt løse for sinus, cosinus eller tangens for en hvilken som helst grad eller radian. Det er spesielt nyttig å kjenne enhetssirkeldiagrammet hvis du trenger å løse visse triggverdier for mattelekser eller hvis du forbereder deg på å studere kalkulus.

Men hvordan kan det å kjenne enhetssirkelen hjelpe deg? La oss si at du får følgende oppgave på en matteprøve – og er det ikke lov til å bruke en kalkulator for å løse det:

$$sin30°$$

Hvor begynner du? La oss ta en titt på enhetssirkeldiagrammet igjen - denne gangen med alle hovedvinkler (i både grader og radianer) og deres tilsvarende koordinater:

Jim.belk /Wikimedia

Ikke bli overveldet! Husk at alt du løser for er $sin30°$. Ved å se på dette diagrammet kan vi se det y-koordinaten er lik /2$ ved 30°. Og siden y-koordinaten er lik sinus, er svaret vårt som følger:

$$sin30°=1/2$$

Men hva om du får et problem som bruker radianer i stedet for grader? Prosessen for å løse det er fortsatt den samme. La oss for eksempel si at du får et problem som ser slik ut:

$$cos{{3π}/4}$$

Igjen, ved å bruke diagrammet ovenfor, kan vi se at x-koordinaten (eller cosinus) for ${3π}/4$ (som er lik 135°) er $-{√2}/2$. Slik vil svaret vårt på dette problemet se ut da:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Alt dette er ganske enkelt hvis du har enhetssirkeldiagrammet ovenfor for å bruke som referanse. Men mesteparten (om ikke hele tiden) vil dette ikke være tilfelle, og du vil forventes å svare på denne typen matematikkspørsmål kun ved å bruke hjernen din.

Så hvordan kan du huske enhetssirkelen? Les videre for våre beste tips!

Slik husker du enhetssirkelen: 3 viktige tips

I denne delen gir vi deg våre beste tips for å huske triggsirkelen, slik at du enkelt kan bruke den for ethvert matematisk problem som krever det.

Jeg vil ikke anbefale å praktisere enhetssirkelen med post-its, men hei, det er en start.

kart i java

#1: Husk vanlige vinkler og koordinater

For å bruke enhetssirkelen effektivt, må du huske de vanligste vinklene (i både grader og radianer) samt deres tilsvarende x- og y-koordinater.

Diagrammet ovenfor er et nyttig enhetssirkeldiagram å se på, siden det inkluderer alle hovedvinkler i både grader og radianer, i tillegg til deres tilsvarende koordinatpunkter langs x- og y-aksene.

Her er et diagram som viser den samme informasjonen i tabellform:

Nå, mens du er mer enn velkommen til å prøve å huske alle disse koordinatene og vinklene, er dette mye av ting å huske.

Heldigvis finnes det et triks du kan bruke for å hjelpe deg med å huske de viktigste delene av enhetssirkelen.

Se på koordinatene ovenfor, og du vil legge merke til et tydelig mønster: alle punkter (unntatt de ved 0°, 90°, 270° og 360°) veksle mellom bare tre verdier (enten positive eller negative):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Hver verdi tilsvarer en kort, middels eller lang linje for både cosinus og sinus:

Her er hva disse lengdene betyr:

Kort horisontal eller vertikal linje= /2$ Middels horisontal eller vertikal linje= ${√2}/2$ Lang horisontal eller vertikal linje= ${√3}/2$

For eksempel, hvis du prøver å løse $cos{π/3}$, bør du vite med en gang at denne vinkelen (som er lik 60°) indikerer en kort horisontal linje på enhetssirkelen. Derfor, dens tilsvarende x-koordinat må være lik /2$ (en positiv verdi, siden $π/3$ skaper et punkt i den første kvadranten av koordinatsystemet).

Til slutt, selv om det er nyttig å huske alle vinklene i tabellen ovenfor, merk det de desidert viktigste vinklene å huske er følgende:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Behandle dine negative og positive som du ville gjort med kabler som potensielt kan drepe deg hvis de kobles til feil.

#2: Lær hva som er negativt og hva som er positivt

Det er viktig å kunne skille positive og negative x- og y-koordinater slik at du finner riktig verdi for et trigproblem. Som en påminnelse, I om en koordinat på enhetssirkelen vil være positiv eller negativ avhenger av hvilken kvadrant (I, II, III eller IV) punktet faller inn under:

Her er et diagram som viser om en koordinat vil være positiv eller negativ basert på kvadranten en bestemt vinkel (i grader eller radianer) er i:

Si for eksempel at du får følgende oppgave på en matteprøve:

$$cos210°$$

Før du i det hele tatt prøver å løse det, bør du være i stand til å gjenkjenne at svaret vil være et negativt tall siden vinkelen 210° faller i kvadrant III (hvor x-koordinatene er alltid negativ).

Nå, ved å bruke trikset vi lærte i tips 1, kan du finne ut at en vinkel på 210° skaper en lang horisontal linje. Derfor er svaret vårt som følger:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Vet hvordan du løser for Tangent

Til slutt er det viktig å vite hvordan du bruker all denne informasjonen om triggsirkelen og sinus og cosinus for å kunne løse for tangenten til en vinkel.

I trig, for å finne tangenten til en vinkel θ (i enten grader eller radianer), må du ganske enkelt del sinus med cosinus:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

javascript base64 dekode

Si for eksempel at du prøver å svare på dette problemet:

$$ an300°$$

Det første trinnet er å sette opp en ligning i form av sinus og cosinus:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Nå, for å løse for tangenten, må vi finne sinusen og cosinus på 300°. Du bør raskt kunne gjenkjenne at vinkelen 300° faller i fjerde kvadrant, noe som betyr at cosinus, eller x-koordinat, vil være positiv, og sinus, eller y-koordinat, vil være negativ.

Det bør du også vite med en gang vinkelen 300° skaper en kort horisontal linje og en lang vertikal linje. Derfor vil cosinus (den horisontale linjen) være lik /2$, og sinusen (den vertikale linjen) vil være lik $-{√3}/2$ (en negativ y-verdi, siden dette punktet er i kvadrant IV) .

Nå, for å finne tangenten, er alt du gjør å koble til og løse:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

På tide å purre-praktisere dine matematiske ferdigheter!

Unit Circle Practice Spørresett

Nå som du vet hvordan enhetssirkelen ser ut og hvordan du bruker den, la oss teste det du har lært med noen få øvingsproblemer.

Spørsmål

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Svar

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

Svar Forklaringer

#1: $sin45°$

Med dette problemet er det to deler av informasjon du bør kunne identifisere med en gang:

Svaret vil være positivt,siden vinkelen 45° er i kvadrant I, og sinusen til en vinkel er lik y-koordinaten

• Vinkelen 45° skaper en middels lang vertikal linje (for sine)

Siden 45° indikerer en positiv, middels lang linje, det riktige svaret er ${√2}/2$.

Hvis du ikke er sikker på hvordan du finner ut av dette, kan du tegne et diagram for å hjelpe deg med å finne ut om lengden på linjen vil være kort, middels eller lang.

#2: $cos240°$

Som problem #1 ovenfor, er det to deler av informasjon du raskt bør kunne forstå med dette problemet:

Svaret vil være negativt,siden vinkelen 240° er i kvadrant III, og cosinus til en vinkel er lik x-koordinaten

• Vinkelen 240° skaper en kort horisontal linje (for kosinus)

Siden 240° indikerer en negativ, kort linje, det riktige svaret er $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

I motsetning til problemene ovenfor, bruker dette problemet radianer i stedet for grader. Selv om dette kan få problemet til å se vanskeligere ut å løse, bruker det i virkeligheten de samme grunnleggende trinnene som de to andre problemene.

Først bør du gjenkjenne at vinkelen ${5π}/3$ er i kvadrant IV, så x-koordinaten, eller cosinus, vil være et positivt tall. Det bør du også kunne fortelle${5π}/3$skaper en kort horisontal linje.

Dette gir deg nok informasjon til å fastslå det de svaret er /2$.

#4: $ an{2π}/3$

Dette problemet omhandler tangent i stedet for sinus eller cosinus, noe som betyr at det vil kreve litt mer matematikk fra vår side. Først og fremst, husk den grunnleggende formelen for å finne tangent:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

La oss nå ta graden vi har fått – ${2π}/3$– og plugg den inn i denne ligningen:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Du skal nå kunne løse for sinus og cosinus separat ved å bruke det du har husket om enhetssirkelen. Siden vinkelen ${2π}/3$ er i kvadrant II, x-koordinaten (eller cosinus) vil være negativ, og y-koordinaten (eller sinus) vil være positiv.

Deretter bør du kunne bestemme basert på vinkelen alene at den horisontale linjen er en kort linje, og den vertikale linjen er en lang rekke. Dette betyr at cosinus er lik $-1/2$, og sinus er lik ${√3}/2$.

Nå som vi har funnet ut disse verdiene, er alt vi trenger å gjøre å koble dem inn i vår første ligning og løse for tangenten:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Hva blir det neste?

Hvis du snart tar SAT eller ACT, må du kjenne til noen trigger slik at du kan gjøre det bra på matematikkdelen. Ta en titt på våre ekspertguider for å trigge på SAT og ACT slik at du kan lære nøyaktig det du trenger å vite for testdagen!

I tillegg til å huske enhetssirkelen, det er en god idé å lære hvordan du plugger inn tall og hvordan du plugger inn svar . Les guidene våre for å lære alt om disse to nyttige strategiene, som du kan bruke på alle matematikkprøver – inkludert SAT og ACT!