Kovariansmatrise er en type matrise som brukes til å beskrive kovariansverdiene mellom to elementer i en tilfeldig vektor. Det er også kjent som varians-kovariansmatrisen fordi variansen til hvert element er representert langs matrisens hoveddiagonal og kovariansen er representert blant de ikke-diagonale elementene. En kovariansmatrise er vanligvis en kvadratisk matrise. Den er også positiv semi-definitiv og symmetrisk. Denne matrisen kommer godt med når det gjelder stokastisk modellering og hovedkomponentanalyse.

Hva er kovariansmatrise?

De forskjell -kovariansmatrise er en kvadratisk matrise med diagonale elementer som representerer variansen og de ikke-diagonale komponentene som uttrykker kovarians. Kovariansen til en variabel kan ta hvilken som helst reell verdi - positiv, negativ eller null. En positiv kovarians antyder at de to variablene har en positiv sammenheng, mens en negativ kovarians indikerer at de ikke har det. Hvis to elementer ikke varierer sammen, har de null kovarians.

Lære mer, Diagonal matrise

Eksempel på kovariansmatrise

La oss si at det er 2 datasett X = [10, 5] og Y = [3, 9]. Variansen til sett X = 12,5 og variansen til sett Y = 18. Kovariansen mellom begge variablene er -15. Kovariansmatrisen er som følger:

egin{bmatrix} Variance~of~Set~X & Coorelation~of~Both~Sets Coorelation~of~Both~Sets& Variance~of~Set~Y end{bmatrix}=egin{bmatrix} 12.5 & -15 -15& 18 end{bmatrix}

greibach normal form

Kovariansmatriseformel

Den generelle formen for en kovariansmatrise er gitt som følger:

hvor,

• Eksempelvariasjon: hvor (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
• Eksempel på samvariasjon: den (x₁, og₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Befolkningsvariasjon: hvor (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Befolkningskovarians: den (x_n, og_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

Her, m er middel for befolkning

overline x er gjennomsnittet av prøven

n er Antall observasjoner

x _Jeg er observasjonen i datasett x

La oss se formatet til kovariansmatrise på 2 ⨯ 2 og 3 ⨯ 3

2 ⨯ 2 Kovariansmatrise

Vi vet at i en 2 ⨯ 2 matrise det er to rader og to kolonner. Derfor kan 2 ⨯ 2 kovariansmatrisen uttrykkes somegin{bmatrix}mathrm{var(x)}& mathrm{cov(x,y)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)}end{bmatrix}

3 ⨯ 3 Kovariansmatrise

I en 3⨯3-matrise er det 3 rader og 3 kolonner. Vi vet at i en kovariansmatrise er de diagonale elementene varians og ikke-diagonale elementer er kovarians. Derfor kan en 3⨯3 kovariansmatrise gis somegin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

Hvordan finne kovariansmatrise?

Dimensjonene til en kovariansmatrise bestemmes av antall variabler i et gitt datasett. Hvis det bare er to variabler i et sett, vil kovariansmatrisen ha to rader og to kolonner. Tilsvarende, hvis et datasett har tre variabler, vil kovariansmatrisen ha tre rader og tre kolonner.

Dataene gjelder karakterer skåret av Anna, Caroline og Laura i psykologi og historie. Lag en kovariansmatrise.

Følgende trinn må følges:

Trinn 1: Finn gjennomsnittet av variabel X. Summer alle observasjonene i variabel X og del summen som er oppnådd med antall ledd. Dermed (80 + 63 + 100)/3 = 81.

Steg 2: Trekk gjennomsnittet fra alle observasjoner. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

Trinn 3: Ta kvadratene av forskjellene oppnådd ovenfor og legg dem sammen. Dermed (80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)².

Trinn 4: Finn variansen til X ved å dele verdien oppnådd i trinn 3 med 1 mindre enn det totale antallet observasjoner. var(X) = [(80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)²] / (3 – 1) = 343.

Trinn 5: Gjenta på samme måte trinn 1 til 4 for å beregne variansen til Y. Var(Y) = 633.

Trinn 6: Velg et par variabler.

Trinn 7: Trekk gjennomsnittet av den første variabelen (X) fra alle observasjoner; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

hvordan konvertere streng til int

Trinn 8: Gjenta det samme for variabel Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).

Trinn 9: Multipliser de tilsvarende leddene: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).

Trinn 10: Finn kovariansen ved å legge til disse verdiene og dele dem med (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.

Trinn 11: Bruk den generelle formelen for kovariansmatrisen for å ordne begrepene. Matrisen blir:egin{bmatrix} 343 & 481 481& 633 end{bmatrix}

Egenskaper for kovariansmatrise

Egenskapene til kovariansmatrisen er nevnt nedenfor:

• En kovariansmatrise er alltid kvadratisk, noe som antyder at antall rader i en kovariansmatrise alltid er lik antall kolonner i den.
• En kovariansmatrise er alltid symmetrisk, noe som antyder at transponere av en kovariansmatrise er alltid lik den opprinnelige matrisen.
• En kovariansmatrise er alltid positiv og semi-bestemt.
• De egenverdier av en kovariansmatrise er alltid reelle og ikke-negative.

Les mer,

• Typer matriser
• Matrisemultiplikasjon
• Varians og standardavvik

Løste eksempler på kovariansmatrise

Eksempel 1: Karakterene scoret av 3 studenter i fysikk og biologi er gitt nedenfor:

Beregn kovariansmatrise fra dataene ovenfor.

Løsning:

Eksempel kovariansmatrise er gitt avfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

Her, μ_x= 84, n = 3

var(x) = [(92 – 84)²+ (60 – 84)²+ (100 – 84)²] / (3 – 1) = 448

Så, μ_og= 60, n = 3

var(y) = [(80 – 60)²+ (30 – 60)²+ (70 – 60)²] / (3 – 1) = 700

Nå, cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.

Befolkningskovariansmatrisen er gitt som:egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}

Eksempel 2. Forbered populasjonskovariansmatrisen fra følgende tabell:

Løsning:

Befolkningsvariasjon er gitt vedfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .

Her, μ_x= 56,5, n = 4

var(x) = [(68 – 56,5)²+ (60 – 56,5)²+ (58 – 56,5)²+ (40 – 56,5)²] / 4 = 104,75

Så, μ_og= 30, n = 4

var(y) = [(29 – 30)²+ (26 – 30)²+ (30 – 30)²+ (35 – 30)²] / 4 = 10,5

Nå, cov(x, y) =frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4}

cov(x, y) = -27

Befolkningskovariansmatrisen er gitt som: egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}

Eksempel 3. Tolk følgende kovariansmatrise:

egin{bmatrix} & X & Y & Z X & 60 & 32 & -4 Y & 32 & 30 & 0 Z & -4 & 0 & 80 end{bmatrix}

Løsning:

1. De diagonale elementene 60, 30 og 80 indikerer variansen i henholdsvis datasett X, Y og Z. Y viser den laveste variansen mens Z viser den høyeste variansen.
2. Kovariansen for X og Y er 32. Siden dette er et positivt tall betyr det at når X øker (eller minker) øker (eller minker) Y også.
3. Kovariansen for X og Z er -4. Siden det er et negativt tall, betyr det at når X øker, reduseres Z og omvendt.
4. Kovariansen for Y og Z er 0. Dette betyr at det ikke er noen forutsigbar sammenheng mellom de to datasettene.

Eksempel 4. Finn eksempelkovariansmatrisen for følgende data:

Løsning:

Eksempel kovariansmatrise er gitt avfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

n = 5, m_x= 22,4, var(X) = 321,2 / (5 – 1) = 80,3

m_og= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037

m_Med= 64, var(Z) = 570 / 4 = 142,5

cov(X, Y) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76

cov(X, Z) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97

cov(Y, Z) = frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87

Kovariansmatrisen er gitt som:

egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}

Vanlige spørsmål om kovariansmatrise

1. Definer kovariansmatrise

En kovariansmatrise er en type matrise som brukes til å beskrive kovariansverdiene mellom to elementer i en tilfeldig vektor.

2. Hva er formelen for kovariansmatrise?

Formelen for kovariansmatrise er gitt som

left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight]

nulle nuller

Hvor, Eksempelvariasjon: hvor (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}

• Eksempel på samvariasjon: den (x₁, og₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Befolkningsvariasjon: hvor (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Befolkningskovarians: den (x_n, og_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

3. Hva er den generelle formen til en 3 ⨯ 3 kovariansmatrise?

Den generelle formen for en 3 ⨯ 3 kovariansmatrise er gitt som følger:

egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

4. Hva er egenskapene til kovariansmatrisen?

Kovariansmatrise er en kvadratisk matrise og er også symmetrisk i naturen, dvs. transponeringen av den opprinnelige matrisen gir selve den opprinnelige matrisen

5. Hvilke sektorer kan kovariansmatrise brukes?

Kovariansmatrise brukes innen matematikk, maskinlæring, finans og økonomi. Covariance Matrix brukes i Cholskey Decomposition for å utføre Monte Carlo-simulering som brukes til å lage matematiske modeller.