Derivert av buetangensfunksjonen betegnes som brun^-1(x) eller arctan(x). Det er lik 1/(1+x ² ) . Derivert av buetangensfunksjon er funnet ved å bestemme endringshastigheten til arc tan-funksjonen med hensyn til den uavhengige variabelen. Teknikken for å finne derivater av trigonometriske funksjoner omtales som trigonometrisk differensiering.

Derivat av Arctan

I denne artikkelen vil vi lære om derivatet av arc tan x og formelen, inkludert beviset for formelen. Bortsett fra det har vi også gitt noen løste eksempler for bedre forståelse.

Derivat av Arctan x

Derivert av buetangensfunksjon eller arctan(x) er 1/(1+x ² ). Arktanen x representerer vinkelen hvis tangent er x. Med andre ord, hvis y = arctan(x), så er tan(y) = x.

Den deriverte av en funksjon kan finnes ved å bruke kjederegelen. Hvis du har en sammensatt funksjon som arctan(x), differensierer du den ytre funksjonen med hensyn til den indre funksjonen og multipliserer deretter med den deriverte av den indre funksjonen.

Derivat av Arctan x Formula

Formelen for den deriverte av invers av tan x er gitt av:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Sjekk også :

• Arctan – Formel, graf, identiteter, domene, rekkevidde og vanlige spørsmål
• Regning i matematikk
• Omvendt Trigonometrisk funksjon

Bevis på derivat av Arctan x

Deriverten av invers av tan x kan bevises på følgende måter:

• Ved hjelp av Kjederegel
• Ved hjelp av Implisitt differensieringsmetode
• Bruk av første prinsipper for derivater

Derivat av Arctan x etter kjederegel

For å bevise avledet av Arctan x etter kjederegel, vil vi bruke grunnleggende trigonometrisk og invers trigonometrisk formel:

• sek²y = 1 + brun²og
• tan(arctan x) = x

Her er beviset for avledet av arctan x:

La oss anta at y = arctan(x)

Ved å bli brun på begge sider får vi:

tan y = tan(arctan x)

tan y = x [som tan (arctan x) = x]

Skil nå begge sider med hensyn til x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [som d/dx(x) = 1]

Ved å bruke kjederegelen for å differensiere tan y med hensyn til x får vi

d/dx(tan y) = sek²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/sek²og

dy/dx = 1/ 1 + tan²y [som sek²y = 1 + brun²og]

Nå vet vi tan y = x, og erstatter verdien i ligningen ovenfor

dy/dx = 1/ 1 + x²

Derivat av Arctan x ved implisitt differensieringsmetode

Derivatet av arctan x kan bevises ved hjelp av den implisitte differensieringsmetoden. Vi vil bruke grunnleggende trigonometriske formler som er oppført nedenfor:

• sek²x = ( 1 + brun²x )

• Hvis y = arktan x ⇒ x = tan y og x²= så²og

La oss starte beviset for derivatet av arctan x , anta at f(x) = y = arktan x

Etter implisitt differensieringsmetode

f(x) = y = arktan x

⇒ x = brun y

Tar avledet på begge sider med hensyn til x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Multiplisere og dele høyre side med dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = sek²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+brun²y) [Som sek²x = ( 1 + brun²x )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²og )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Derfor f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Derivat av Arctan x etter First Principle

For å bevise avledet av arctan x ved å bruke First Principle of Derivative, vil vi bruke grunnleggende grenser og trigonometriske formler som er oppført nedenfor:

• lim_h→0arktan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

La oss starte beviset for den deriverte av arctan x

vi har arctan(x) = y

Bruk definisjonen av derivert vi får

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Sjekk også

• Derivat av inverse trigonometriske funksjoner
• Differensieringsformler
• Inverse trigonometriske identiteter

Eksempler på derivater av Arctan x

Eksempel 1: Finn den deriverte av funksjonen f(x) = arctan(3x).

Løsning:

Vi vil bruke kjederegelen, som sier at hvis g(x) er differensierbar ved x og f(x) = arctan (g(x)), så er den deriverte f'(x) gitt av:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

I dette tilfellet er g(x) = 3x, så g'(X) = 3. Bruke kjederegelformelen:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Eksempel 2: Finn den deriverte av funksjonen h(x) = tan ^-1 (x/2)

Løsning:

Vi vil bruke kjederegelen, ifølge hvilken f(x) = tan^-1(g(x)), så er den deriverte f'(x) gitt av:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

I dette tilfellet er g(x) = x/2, så g'(X) = 1/2. Bruk av kjederegelformelen:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Forenkling får vi,

f'(x) = 2/(4+x²)

Eksempel 3: Finn den deriverte av f(x) = arctan (2x ² )

Løsning:

for loop bash

Vi vil bruke kjederegelen, som sier at hvis g(x) er differensierbar ved x og f(x) = arctan (g(x)), så er den deriverte f'(x) gitt av:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

I dette tilfellet er g(x) = 2x², så g'(X) = 4x.

Bruk av kjederegelformelen:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arktan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Praksisspørsmål om derivater av Arctan x

Q.1: Finn den deriverte av funksjonen f(x) = x ² arkan (2x)

Q.2: Finn den deriverte av funksjonen k(x) = arctan (x ³ +2x)

Q.3: Finn den deriverte av funksjonen p(x) = x arctan(x ² +1)

Q.4: Finn den deriverte av funksjonen f(x) = arctan (x)/1+x

Sp.5: Finn den deriverte av funksjonen r(x) = arctan (4x)

Les mer,

• Avledning i matte
• Derivat av tan invers x
• Arctan

Derivat av Arctan x – Vanlige spørsmål

Hva er derivert i matematikk?

I matematikk måler de deriverte hvordan en funksjon endres når dens input (uavhengig variabel) endres. Den deriverte av en funksjon f(x) er betegnet som f'(x) eller (d /dx)[f(x)].

Hva er derivat av brunfarge ^-1 (x)?

Derivat av brunfargen^-1(x) med hensyn til x er 1/1+x²

Hva er invers av tan x?

Arctan er den inverse av tan-funksjonen, og den er en av de inverse trigonometriske funksjonene. Det er også kjent som arktanfunksjonen.

Hva er kjederegel i Arctan (x)?

Kjederegel er en differensieringsregel. For arctan (u), kjederegelen sier at hvis f(x) = arctan(u), så f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. Å bruke dette på arctan(x), hvor u=x, gir 1/1+x²

Hva er derivert av f(x) = x tan ^-1 (x)?

Derivert av f(x) = xtan^-1(x) kan bli funnet ved å bruke produktregelen. Resultatet er så ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Hva er anti-derivat av Arctan x?

Antiderivat av arctan x er gitt av ∫tan^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Hva er derivat?

Derivat av funksjon er definert som endringshastigheten til funksjonen i forhold til en uavhengig variabel.