Avledede formler i kalkulus er et av de viktige verktøyene for kalkulering, da derivative formler er mye brukt for å finne derivater av forskjellige funksjoner med letthet og også hjelpe oss å utforske ulike felt innen matematikk, ingeniørfag, etc.

Denne artikkelen utforsker alle derivatformler inkludert den generelle derivatformelen, derivatformler for logaritmiske og eksponentielle funksjoner, derivatformler for trigonometriske forhold, derivatformler for inverse trigonometriske forhold og derivatformler for hyperbolske funksjoner. Avledet formel er viktig for klasse 12-studenter for styreeksamenene deres. Vi skal også løse noen eksempler på derivater ved å bruke de forskjellige derivatformlene. La oss gå nøye gjennom temaet Derivative Formula.

Innholdsfortegnelse

• Hva er derivat?
• Hva er avledede formler?
• Grunnleggende deriverte formler – Deriverte regler i kalkulus
• Liste over avledede formler
• Noen andre avledede formler
• Hvordan finne derivatene?
• Anvendelser av derivatformel

Hva er derivat?

De derivater representerer funksjonshastigheten i forhold til en hvilken som helst variabel. Den deriverte av en funksjon f(x) er betegnet som f'(x) eller (d/dx) [f(x)]. Prosessen med å finne derivater kalles differensiering.

Den mest grunnleggende derivatformelen er definisjonen av et derivat, som er definert som:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Det finnes forskjellige derivatformler, inkludert generelle derivatformler, derivatformler for trigonometriske funksjoner og derivatformler for inverse trigonometriske funksjoner, etc.

Les i detalj: Regning i matematikk

Hva er avledede formler?

Deriverte formler er de matematiske uttrykkene som hjelper oss å beregne den deriverte av en bestemt funksjon med hensyn til dens uavhengige variabel. Med enkle ord kalles formlene som hjelper med å finne derivater som derivatformler. Det er flere derivatformler for forskjellige funksjoner.

Eksempler på derivatformler

Noen eksempler på formler for derivater er oppført som følger:

• Maktregel: Hvis f(x) = xⁿ, hvor n er en konstant, så er den deriverte gitt av:

f'(x) = nx ^n-1

• Konstant regel: Hvis f(x) = c, hvor c er en konstant, så er den deriverte null:

f'(x) = 0

• Eksponentielle funksjoner: Hvis f(x) = e^x, deretter:

f'(x) = e ^x

La oss diskutere alle formlene relatert til derivater på en strukturert måte.

Grunnleggende deriverte formler – Deriverte regler i kalkulus

Noen av de mest grunnleggende formlene for å finne derivater er:

• Konstant regel
• Maktregel
• Sumdifferanseregel
• Produktregel
• Kvotientregel
• Kjederegel

La oss diskutere disse reglene i detalj:

Konstant regel for derivater

Konstantregelen for derivater er gitt av:

(d/dx) konstant = 0

Maktregel for derivater

Kraftregelen for derivater er gitt av:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Sumdifferanseregel for derivater

Sum- og differanseregelen for derivater er gitt av:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Produktregel for derivater

Produktregelen for derivater er gitt av:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Kvotientregel for derivater

Kvotensregelen for derivater er gitt av:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Kjederegel for derivater

Kjederegelen for derivat er gitt av:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Liste over avledede formler

De deriverte formlene for de forskjellige funksjonene er oppført nedenfor:

Eksponentielle og logaritmiske deriverte formler

De deriverte formlene for de eksponentielle og logaritmiske funksjonene er oppført nedenfor:

• (d/dx) e^x= og^x
• (d/dx) a^x= a^xln a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) logg_enx= (1/x lna)

Les mer,

• Logaritmer
• Deriverte av eksponentielle funksjoner

Trigonometriske derivatformler

De deriverte formlene for de trigonometriske funksjonene er oppført nedenfor:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) barneseng x = -cosec²x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Lære mer om Derivat av trigonometriske funksjoner .

Avledet formel for inverse trigonometriske funksjoner

De deriverte formlene for de inverse trigonometriske funksjonene er oppført nedenfor:

• (d/dx) uten^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) så^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) barneseng^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sek^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Les mer, Derivat av inverse trigfunksjoner .

Avledet av hyperbolske funksjoner

De deriverte formlene for de trigonometriske funksjonene er oppført nedenfor:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = seg selv²x
• (d/dx) coth x = -cosech²x
• (d/dx) selv x = -selv x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Noen andre avledede formler

Det er noen andre funksjoner som implisitte funksjoner, parametriske funksjoner og høyere ordens derivater hvis deriverte formler er oppført nedenfor:

Implisitt derivatformel

Metoden for å finne den deriverte av en implisitt funksjon kalles implisitt differensiering. La oss ta et eksempel for å forstå metoden for å finne derivater implisitt.

Eksempel: Finn den deriverte av xy = 2

Løsning:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Fra gitt ligning y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Lære mer om Implisitt differensiering .

Parametrisk derivatformel

Hvis funksjonen y(x) er uttrykt i termene av tredje variabel t og x og y kan representeres i x = f(t) og y = g(t), kalles denne typen funksjon som parametrisk funksjon.

Hvis y er funksjon av x og x = f(t) og y = g(t) er to differensierbare funksjoner av parameter t, er den deriverte av parametrisk funksjon gitt av:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), slik at (dx/dt) ≠ 0

Les mer om Parametrisk differensiering .

Avledet formel av høyere orden

Å finne den deriverte av en funksjon for mer enn én gang gir den høyere ordens deriverte av en funksjon.

n ^th Derivat = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Les mer om Avledet av høyere orden .

Hvordan finne derivatene?

For å finne de deriverte av en funksjon følger vi trinnene nedenfor:

• Sjekk først hvilken type funksjon om den er algebraisk, trigonometrisk osv.
• Etter å ha funnet typen, bruk de tilsvarende deriverte formlene på funksjonen.
• Den resulterende verdien gir den deriverte av funksjonen ved å bruke formelen for deriverte.

Anvendelser av derivatformel

Det er mange anvendelser av derivatformlene. Noen av disse programmene er oppført nedenfor:

• Derivater brukes til å finne endringshastigheten i enhver mengde.
• Den kan brukes til å finne maksima og minima.
• Den brukes i økende og reduserende funksjoner.

Folk ser også på:

• Differensieringsformler
• Formel for differensiering og integrering
• Logaritmisk differensiering

Løste eksempler på derivatformel

Eksempel 1: Finn den deriverte av x ⁵ .

Løsning:

La y = x⁵

⇒ y' = (d/dx) [x⁵]

⇒ y' = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Eksempel 2: Finn den deriverte av log ₂ x.

Løsning:

La y = logge₂x

⇒ y’ = (d/dx) [log₂x]

⇒ y' = 1/ [x ln2]

Eksempel 3: Finn den deriverte av funksjonen f(x) = 8 . 6 ^x

Løsning:

f(x) = 8. 6^x

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^x]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^x]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Eksempel 4: Finn den deriverte av funksjonen f(x) = 3sinx + 2x

Løsning:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Eksempel 5: Finn den deriverte av funksjonen f(x) = 5cos ^-1 x + e ^x

Løsning:

f(x) = 5cos^-1x + e^x

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + og^x

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + og^x

Øv problemer på derivatformel

Oppgave 1: Vurder: (d/dx) [x⁴].

Oppgave 2: Finn den deriverte av y = 5cos x.

Oppgave 3: Finn den deriverte av y = cosec x + cot x.

Oppgave 4: Finn den deriverte av f(x) = 4^x+ logg₃x + så^-1x.

Oppgave 5: Evaluer: (d/dx) [40].

Oppgave 6: Finn den deriverte av f(x) = x⁵+ 5x³+ 1.

Vanlige spørsmål om derivatformel

Hva er derivat?

Verdien som representerer endringshastigheten av funksjon i forhold til en hvilken som helst variabel kalles den deriverte.

Hvordan er derivatene representert?

Derivatene er representert som (d/dx) eller hvis f(x) er en funksjon, er den deriverte av f(x) representert som f'(x).

Hvordan beregnes den deriverte av en konstant?

Den deriverte av en konstant er alltid null. I matematisk notasjon, hvis 'C' er en konstant, så er dC/dx = 0.

Skriv den generelle derivasjonsformelen til xⁿ.

Den generelle formelen for avledet av xⁿ= nx^n-1.

Hvordan beregne funksjonsderivater?

For å beregne deriverte av en funksjon, kan vi bruke deriverte formel i henhold til gitt funksjon.

Hva er formelen for derivering av logaritmisk funksjon?

Den deriverte av den naturlige logaritmefunksjonen, ln(x), er 1/x. I matematisk notasjon, hvis y = ln(x), så er dy/dx = 1/x.

Hvilken formel brukes for å finne deriverte av eksponentielle funksjoner?

Den deriverte av en eksponentiell funksjon, y = a^x(hvor 'a' er en konstant), finnes ved å bruke formelen dy/dx = a^x× ln(a).

Hva er høyere-ordens derivater?

Høyere ordens derivater er derivater av en funksjon tatt mer enn én gang. Den andre deriverte er den deriverte av den første, den tredje er den deriverte av den andre, og så videre.

Hva er derivatformel for f.eks^x?

Den deriverte av funksjonen f(x) = e^x(hvor 'e' er Eulers tall, omtrent 2,71828) er ganske enkelt f'(x) = e^x.

Skriv avledet formel for u/v.

Den deriverte av kvotienten til to funksjoner u(x) og v(x) er gitt av kvotientregelen:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Hva er derivatformel for 1/x?

Den deriverte av funksjonen f(x) = 1/x er gitt av:

f'(x) = -1/x ²

fordelene med elektrisitet