Differensiering av trigonometriske funksjoner er den deriverte av trigonometriske funksjoner som sin, cos, tan, cot, sec og cosec. Differensiering er en viktig del av regnestykket. Det er definert som endringshastigheten for en mengde i forhold til en annen mengde. Differensieringen av trigonometriske funksjoner brukes i det virkelige liv på forskjellige felt som datamaskiner, elektronikk og matematikk.

I denne artikkelen vil vi lære om differensiering av trigonometriske funksjoner sammen med formlene, deres relaterte bevis og deres applikasjoner. Vi vil også løse noen eksempler og få svar på noen vanlige spørsmål om differensiering av trigonometriske funksjoner. La oss begynne å lære om emnet differensiering av trigonometriske funksjoner.

Hva er differensiering?

Differensieringen av en funksjon er endringshastigheten til en funksjon i forhold til en hvilken som helst variabel. De derivat av f(x) er betegnet som f'(x) eller (d/dx)[f(x)].

Prosedyren for å differensiere trigonometriske funksjoner kalles differensiering av trigonometriske funksjoner. Å finne endringshastigheten til trigonometriske funksjoner i forhold til vinklene kalles med andre ord trigonometrisk funksjonsdifferensiering.

De seks grunnleggende trigonometriske funksjonene er sin, cos, tan, cosec, sec og cot. Vi vil finne de deriverte av alle trigonometriske funksjoner med deres formler og bevis.

Differensieringsregel for trigonometriske funksjoner

Differensieringen av seks grunnleggende trigonometriske funksjoner er som følger:

Du kan sjekke beviset for den deriverte av disse seks trigonometriske funksjonene i lenkene nedenfor:

Formel for differensiering av trigonometriske funksjoner

Som diskutert ovenfor formlene for alle trigonometriske funksjoner, vil vi nå bevise formlene ovenfor for differensiering av trigonometriske funksjoner ved å bruke det første prinsippet om derivert, kvotientregel og kjederegel ved hjelp av grenser.

Differensiering av synd (x)

For å bevise den deriverte av sin x vil vi bruke det første prinsippet for differensiering og noen grunnleggende trigonometriske identiteter og grenseformler. Formelen for trigonometriske identiteter og grenser som brukes i beviset er gitt nedenfor:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

La oss starte beviset for differensieringen av den trigonometriske funksjonen sin x

Etter det første prinsippet om differensiering

gzip for linux

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h/h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Ved å bruke 2 og 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Derfor er differensiering av sin x cos x.

Differensiering av cos(x)

For å bevise den deriverte av cos x vil vi bruke det første prinsippet for differensieringen og noen grunnleggende trigonometriske identiteter og grenseformler. Formelen for trigonometriske identiteter og grenser som brukes i beviset er gitt nedenfor:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

La oss starte beviset for differensieringen av den trigonometriske funksjonen cos x

Etter det første prinsippet om differensiering

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(uten t/t) uten x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Ved å bruke 2 og 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Derfor er differensiering av cos x -sin x.

Differensiering av tan(x)

For å bevise den deriverte av tan x vil vi bruke kvotientregelen og noen grunnleggende formel for trigonometriske identiteter og grenser. Formelen for trigonometriske identiteter og grenser som brukes i beviset er gitt nedenfor:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

La oss starte beviset for differensieringen av den trigonometriske funksjonen tan x

Siden, av (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Ved å bruke kvotientregel

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [ved 4 og 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + sin²x] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [av 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² x [av 2]

Derfor er differensiering av tan x sek ² x.

Differensiering av cosec(x)

For å bevise den deriverte av cosec x vil vi bruke kjederegelen og noen grunnleggende formel for trigonometriske identiteter og grenser. Formelen for trigonometriske identiteter og grenser som brukes i beviset er gitt nedenfor:

1. barneseng x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

La oss starte beviset for differensieringen av den trigonometriske funksjonen cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [By 2]

Bruker kjederegel

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [Ved 1 og 2]

Derfor er differensieringen av cosec x - cosec x cot x.

Differensiering av sek(x)

For å bevise den deriverte av sek x vil vi bruke kvotientregelen og noen grunnleggende trigonometriske identiteter og grenser formel . Formelen for trigonometriske identiteter og grenser som brukes i beviset er gitt nedenfor:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

La oss starte beviset for differensieringen av den trigonometriske funksjonen sek x

(d/dx) sek x = (d/dx) [1 / cos x] [By 2]

Bruker kjederegel

(d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (-uten x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x [Av 1 og 2]

Derfor er differensieringen av sek x sek x tan x.

Differensiering av barneseng(x)

For å bevise den deriverte av cot x vil vi bruke kvotientregelen og noen grunnleggende formel for trigonometriske identiteter og grenser. Formelen for trigonometriske identiteter og grenser som brukes i beviset er gitt nedenfor:

1. barneseng x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

La oss starte beviset for differensieringen av den trigonometriske funksjonen cot x

Siden, av (1)

barneseng x = cos x / sin x

(d/dx) barneseng x = (d/dx)[cosx / sin x]

Ved å bruke kvotientregel

(d/dx) barneseng x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²x

⇒ (d/dx) barneseng x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [ved 4 og 5]

⇒ (d/dx) barneseng x = [ -sin²x – cos²x] / synd²x

⇒ (d/dx) barneseng x = -[ sin²x + cos²x] / synd²x

⇒ (d/dx) barneseng x = -1 / sin²x [av 3]

⇒ (d/dx) barneseng x = -cosec ² x [av 2]

Derfor er differensiering av barneseng x -cosec ² x.

Noen andre trigfunksjonsderivater

Differensieringen av de trigonometriske funksjonene kan enkelt gjøres ved å bruke kjederegel. De komplekse trigonometriske funksjonene og sammensatte trigonometriske funksjoner kan løses ved å bruke kjederegel av differensiering. I de følgende overskriftene vil vi videre studere differensieringen av kjederegelen og sammensatte trigfunksjoner i detalj.

• Differensiering ved hjelp av kjederegel
• Differensiering av sammensatt trigfunksjon

La oss diskutere disse emnene i detalj.

Kjederegel og trigonometrisk funksjon

Kjederegelen sier at hvis p(q(x)) er en funksjon, så er den deriverte av denne funksjonen gitt av produktet av den deriverte av p(q(x)) og den deriverte av q(x). Kjederegelen brukes til å skille sammensatte funksjoner . Kjederegelen brukes for det meste for å enkelt skille de sammensatte trigfunksjonene.

Eksempel: Finn den deriverte av f(x) = tan 4x

Løsning:

f(x) = brun 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [brun 4x]

Ved å bruke kjederegel

f'(x) = (d/dx) [brun 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sek²4x)(4)

Differensiering av sammensatt trigfunksjon

For å evaluere differensieringen av de sammensatte trigfunksjonene bruker vi kjededifferensieringsregel. De sammensatte trigfunksjonene er funksjonene der vinkelen til den trigonometriske funksjonen i seg selv er en funksjon. Differensieringen av sammensatte trigonometriske funksjoner kan enkelt evalueres ved å bruke kjederegelen og differensieringsformlene for trigfunksjoner.

Eksempel: Finn den deriverte av f(x) = cos(x ² +4)

Løsning:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Ved å bruke kjederegel

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Hva er inverse trigonometriske funksjoner?

De inverse trigonometriske funksjoner er de inverse funksjonene til de trigonometriske funksjonene. Det er seks inverse trigonometriske funksjoner: synd^-1, cos^-1, så^-1, cosec^-1, sek^-1, barneseng^-1. De inverse trigonometriske funksjonene kalles også som buefunksjoner.

Differensiering av inverse trigonometriske funksjoner

Derivatene av seks inverse trigonometriske funksjoner er som følger:

Eksempel: Finn den deriverte av f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 x

Løsning:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x]+ 4(d/dx) [cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Applikasjoner om differensiering av trigonometriske funksjoner

Det er mange forskjellige anvendelser av differensiering av trigonometriske funksjoner i det virkelige liv. Følgende er anvendelsene av differensieringen av trigonometriske funksjoner.

• Hellingen til tangenten og normallinjen til den trigonometriske kurven kan bestemmes ved hjelp av differensieringen av de trigonometriske funksjonene.
• Den kan også brukes til å bestemme maksima og minima for funksjonen.
• Det brukes også innen datamaskiner og elektronikk.

Sjekk også

• Invers trig-derivat
• Antiderivat
• Differensieringsformler

Eksempelproblemer på differensiering av trigfunksjoner

Oppgave 1: Finn den deriverte av f(x) = tan 2x.

Løsning:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Ved å bruke kjederegel

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sek²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2 sek²2x

Oppgave 2: Finn den deriverte av y = cos x / (4x ² )

Løsning:

y = cos x / (4x²)

Bruker kvotientregel

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y' = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y' = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Oppgave 3: Vurder den deriverte f(x) = cosec x + x tan x

Løsning:

f(x) = cosec x + x tan x

Ved å bruke formel og produktregel

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²x

Oppgave 4: Finn den deriverte av funksjonen f(x) = 6x ⁴ fordi x

Løsning:

f(x) = 6x⁴fordi x

Ved å bruke produktregelen

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-uten x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴uten x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Oppgave 5: Vurder den deriverte: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Løsning:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Ved å bruke produktregelen

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

hvordan slå av utviklermodus for Android

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²x

Øv problemer på differensiering av trigonometriske funksjoner

Oppgave 1: Finn den deriverte av y = sin(x) + cos(x).

Oppgave 2: Regn ut den deriverte av y = 2sin(x) – 3cos(x).

Oppgave 3: Finn den deriverte av y = 2sin(3x).

Oppgave 4: Bestem den deriverte av y = tan(5x).

Oppgave 5: Finn den deriverte av y = sin(x) cos(x).

Oppgave 6: Regn ut den deriverte av y = cos²(x).

Oppgave 7: Bestem den deriverte av y = tan²(x).

Oppgave 8: Bestem den deriverte av y = tan(x) sek(x).

Vanlige spørsmål om differensiering av trigonometriske funksjoner

Hva er differensiering?

Differensiering er en matematisk operasjon som beregner hastigheten en funksjon endres med i forhold til dens uavhengige variabel.

Hva er trigonometrisk funksjon?

Trigonometriske funksjoner er matematiske funksjoner som relaterer vinklene til en rettvinklet trekant til forholdet mellom sidene.

Hva er vanlige trigonometriske funksjoner?

Vanlige trigonometriske funksjoner inkluderer sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecant (cosec), secant (sek) og cotangens (cot).

Definer differensieringen av trigonometriske funksjoner.

Metoden for å differensiere de trigonometriske funksjonene kalles differensiering av trigonometriske funksjoner.

Hvordan skiller du sinusfunksjonen, dvs. sin (x)?

Den deriverte av sin (x) er cos (x). I matematisk notasjon er d/dx(sin(x)) = cos(x).

Hva får vi etter differensiering av cosinusfunksjonen, dvs. cos (x)?

Den deriverte av cos (x) er -sin (x). I matematisk notasjon er d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Hvordan skiller du Tangent-funksjonen, dvs. tan (x)?

Den deriverte av tan(x) er sek²(x), hvor sek(x) er sekantfunksjonen. I matematisk notasjon er d/dx(tan(x)) = sek²(x).

Hva er formlene for differensiering av trigonometriske funksjoner?

Formelen for differensiering av trigonometriske funksjoner er:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) barneseng x = -cosec²x

Gi ett eksempel på å differensiere en trigonometrisk funksjon.

La oss vurdere en funksjon f(x) = 2sin(3x).

Ved å bruke kjederegelen,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Hvilke metoder brukes for å utlede differensieringen av trigonometriske funksjoner?

De forskjellige måtene differensieringen av trigonometriske funksjonsformel kan utledes på er:

• Ved å bruke det første prinsippet for derivatene
• Ved å bruke Kvotientregel
• Ved å bruke kjederegelen

Hva er antidifferensiering av trigonometriske funksjoner?

Anti-differensieringen av de trigonometriske funksjonene betyr å finne integreringen av de trigonometriske funksjonene.