På den nylig redesignede 2016 SAT er innholdet i matematikkdelen delt inn i fire kategorier av College Board: Heart of Algebra, Problemløsning og dataanalyse, Passport to Advanced Math og tilleggsemner i matematikk. Heart of Algebra står for den største delen av SAT-matematikkdelen (33 % av testen) , så du må være godt forberedt på det. I dette innlegget skal jeg diskutere innholdet og spørsmålstypene i denne kategorien, jobbe gjennom øvelsesproblemer og gi tips om hvordan du kan besvare disse spørsmålene.

Heart of Algebra: Oversikt

Innhold dekket

Akkurat som navnet antyder, dekker Heart of Algebra algebrainnhold, men hvilket algebrainnhold spesifikt? Disse spørsmålene dekker:

• Lineære ligninger
• Ligningssystem
• Absolutt verdi
• Tegne grafiske lineære ligninger
• Lineære ulikheter og ulikhetssystemer

Jeg skal fordype meg i hvert av disse innholdsområdene nedenfor. Jeg vil forklare nøyaktig hva du trenger å vite på hvert område, og jeg vil lede deg gjennom noen praksisproblemer.

MERK: Alle praksisproblemene i denne artikkelen kommer fra en ekte College Board SAT praksis test (Øvningsprøve #1).

Jeg vil anbefale at du ikke leser denne artikkelen før du har tatt øvingsprøve nr. 1 (så jeg ikke ødelegger det for deg!). Hvis du ikke har tatt øvingsprøve nr. 1, bokmerk denne artikkelen og kom tilbake etter at du har fullført den. Hvis du allerede har tatt øvingsprøve nr. 1, så les videre!

Hjerte av Algebra Spørsmålsoversikt

Som jeg nevnte i starten av artikkelen, utgjør Heart of Algebra 33 % av matematikkdelen, som fungerer til å 19 spørsmål. Det vil være åtte i seksjon 3 (matteprøven uten kalkulator) og 11 i seksjon 4 (kalkulatormatteprøven).

Heart of Algebra-spørsmål varierer i presentasjon. Fordi det er så mange, trengte College Board å blande sammen hvordan de stiller deg disse spørsmålene. Du vil se flervalgsspørsmål og grid-in Heart of Algebra-spørsmål. Du kan rett og slett presenteres for en likning(er) og må løses eller du kanskje få et virkelighetsscenario som et ordproblem og trenger å lage en(e) ligning(er) for å finne svaret.

SAT-matematikkdelen presenterer spørsmål i vanskelighetsrekkefølge (definert av hvor lang tid det tar en gjennomsnittlig student å løse et problem og prosentandelen av elevene som svarer riktig på spørsmålet). Du vil se Heart of Algebra-spørsmål gjennom hele delen : de enkle, 'lette' vil dukke opp i begynnelsen av flervalgs- og rutenettet, mens de mer utfordrende som krever at du oppretter en eller flere ligninger som skal løses, vises mot slutten.

Jeg vil gi eksempler på hver type spørsmål (enkelt og vanskelig) mens vi lærer om hvert innholdsområde i neste avsnitt.

Vi er på vei til å erobre algebra!

Innholdsområdesammenbrudd

Lineære ligninger

Lineære ligningsspørsmål kan presenteres på et par måter. De lettere lineære ligningsspørsmålene vil be deg løse en lineær ligning som er gitt til deg. De vanskeligere lineære ligningsspørsmålene vil be deg om å skrive en lineær ligning for å representere den gitte situasjonen.

Ingen problemer med kalkulatorøving

Dette spørsmålet er et av de enkleste, enkleste og mest direkte Heart of Algebra-spørsmålene som du vil se. Spørsmålet ber deg bare løse en lineær ligning uten å plassere den i en virkelig situasjon som vil kreve at du forstår konteksten så vel som ligningen.

Svar Forklaring:

Siden $k=3$, kan man erstatte 3 med k i ligningen, noe som gir ${x-1}/{3}=3$. Å multiplisere begge sider av ${x-1}/{3}=3$ med 3 gir $x-1=9$, og hvis du legger til 1 på hver side, blir resultatet $x=10$. D er det riktige svaret.

Tips:

Hvis du slet med dette spørsmålet, kan du også løse det ved å plugge inn svarvalgene for x og se hvilket som fungerte. Å plugge inn vil fungere, men vil ta deg mer tid enn bare å løse ligningen.

Hvis du løser ligningen for å finne x, kan du dobbeltsjekke svaret ditt ved å plugge det inn. Hvis du plugger inn svarvalget ditt for x, og begge sider av ligningen er like, vet du at du har det rette svaret!

Følgende spørsmål er litt mer utfordrende siden den ber deg lage en lineær ligning for å representere scenariet i den virkelige verden.

Svar Forklaring:

Det er to måter å nærme seg dette problemet på.

Tilnærming 1: Det totale antallet meldinger sendt av Armand er lik frekvensen av tekstmeldinger (m tekster/time) multiplisert med de 5 timene han brukte på å sende tekstmeldinger: m tekstmeldinger/time × 5 timer = $5m$ tekstmeldinger. På samme måte er det totale antallet meldinger sendt av Tyrone lik frekvensen av tekstmeldinger (p tekster/time) multiplisert med de 4 timene han brukte på å sende tekstmeldinger: p tekster/time × 4 timer = $4p$ tekster. Det totale antallet meldinger sendt av Armand og Tyrone er lik summen av det totale antallet meldinger sendt av Armand og det totale antallet meldinger sendt av Tyrone: $5m+4p$. C er det riktige svaret.

Tilnærming 2: Velg tall og koble dem til. For eksempel skal jeg velge tall og si at Armand sender 3 tekstmeldinger i timen og Tyrone sender 10 tekstmeldinger i timen. Basert på den gitte informasjonen, hvis Armand sender tekstmeldinger i 5 timer, sendte Armand (3 tekstmeldinger per time)(5 timer) tekstmeldinger eller 15 tekstmeldinger; hvis Tyrone sender tekstmeldinger i 4 timer, sendte Tyrone (10 tekstmeldinger per time) (4 timer) tekstmeldinger eller 40 tekstmeldinger. Derfor er det totale antallet tekster sendt av Armand og Tyrone $15+40=55$-tekster. Nå kobler jeg inn tallene jeg valgte til svarvalgene og ser om antall tekster samsvarer med 55 tekster, så for svar C, $5(3) +4(10)=15+40=55$ tekster. Derfor er C det riktige svaret. MERK: for dette spørsmålet var denne strategien tregere, men for mer kompliserte spørsmål kan dette være en raskere og enklere tilnærming.

Tips:

Ta disse problemene ett skritt om gangen. Finn ut Armands totale antall tekstmeldinger, finn ut Tyrones totale antall tekstmeldinger, og kombiner dem til ett uttrykk. Ikke skynd deg å hoppe til det endelige svaret. Du kan gjøre en feil underveis.

Ligningssystemer

System av ligningsspørsmål vil bli presentert på lignende måter som lineære ligningsspørsmål; derimot, de er vanskeligere fordi du nå må gjøre flere trinn og/eller lage en andre ligning.

De enklere system av ligningsspørsmål vil be deg løse for én variabel når du får to likninger med to variabler.

De vanskeligere system av ligningsspørsmål vil kreve at du skriver et ligningssystem for å representere den gitte situasjonen og deretter løser for én variabel ved å bruke ligningene du opprettet.

Ingen problemer med kalkulatorøving

Dette spørsmålet er uten tvil enkleste, enkleste og mest enkle systemer av ligningsspørsmål som du vil se. Den setter opp ligningene for deg, og ber deg ganske enkelt løse for x.

Svar Forklaring:

Å trekke venstre og høyre side av $x+y=−9$ fra de tilsvarende sidene av $x+2y =−25$ gir $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , som tilsvarer $y=−16$. Å erstatte $−16$ med $y$ i $x+y=−9$ gir $x+(−16)=−9$, som tilsvarer $x=−9−(−16) =7$. Riktig svar er 7.

Tips:

Å koble til kan være et godt alternativ hvis du får dette spørsmålet i flervalgsvalget (noe som ikke er tilfelle her). Du kunne imidlertid også ha koblet til svaret ditt for å dobbeltsjekke arbeidet ditt!

Her er et annet ganske enkelt spørsmål om likningssystem, men det er det litt vanskeligere siden du må gi svaret for både x og y (noe som skaper mer potensial for feil).

Svar Forklaring:

Å legge til x og 19 på begge sider av $2y−x=−19$ gir $x=2y+19$. Å erstatte $2y+19$ med x i $3x+4y=−23$ gir deretter $3(2y + 19)+4y=−23$. Denne siste ligningen tilsvarer $10y+57=−23$. Å løse $10y+57=−23$ gir $y=−8$. Til slutt, å erstatte −8 for y i $2y−x=−19$ gir $2(−8)−x=−19$, eller $x=3$. Derfor er løsningen $(x, y)$ til det gitte ligningssystemet $(3, −8)$.

Tips:

Å plugge inn hadde også vært en rask måte å løse dette på! Når du blir bedt om å løse begge variablene i et likningsspørsmål, prøv alltid å koble til!

Følgende er en litt vanskeligere. Selv om du får ligningene, må du fortsatt finne ut hva spørsmålet spør deg (hvilken variabel du må løse for), noe som er litt mer utfordrende siden det stiller deg spørsmålet ved å bruke et virkelighetsscenario. Du må også løse det ved hjelp av mental matematikk (siden det er i delen uten kalkulator).

Svar Forklaring:

For å bestemme prisen per pund storfekjøtt når den var lik prisen per pund kylling, bestemmer du verdien av x (antall uker etter 1. juli) når de to prisene var like. Prisene var like når $b=c$; det vil si når $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Denne siste ligningen tilsvarer $0,60=0,15x$, så $x={0,6}/{0,15}=4$. For å bestemme $b$, prisen per pund biff, erstatter du $x$ med 4 i $b=2,35+0,25x$, som gir $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dollar per pund. Derfor er D det riktige svaret.

Tips:

Ta deg tid til å jobbe gjennom hvert trinn. Det er lett å gjøre en liten feil og få feil svar.

Kalkulatorøvingsoppgave

Følgende er et av de vanskeligste Heart of Algebra-spørsmålene. Basert på scenariet i den virkelige verden som du får i spørsmålet, må du lage to ligninger og deretter løse dem.

Svar Forklaring:

For å bestemme antall solgte salater, skriv og løs et system med to ligninger. La $x$ lik antall solgte salater og la $y$ lik antall solgte drinker. Siden antall salater pluss antall solgte drinker tilsvarer 209, må ligningen $x+y=209$ holde. Siden hver salat kostet 6,50, hver brus kostet 2,00, og den totale inntekten var 836,50, må ligningen $6,50x+2,00y=836,50$ også holde. Ligningen $x+y=209$ tilsvarer $2x+2y=418$, og å trekke fra hver side av $2x+2y=418$ fra den respektive siden av $6,50x+2,00y=836,50$ gir $4,5x=418,50 $. Derfor var antallet salater solgt x $x={418,50}/{4,50}=93$. Derfor er B det riktige svaret.

Tips:

Ta disse problemene ett skritt om gangen. Skriv ut ligningen for det totale antallet salater og drikker som selges, finn ut ligningen for inntekt, og løs deretter. Ikke forhast deg, ellers kan du gjøre en feil.

Absolutt verdi

Det vil vanligvis bare være ett absolutt verdi-spørsmål i SAT-matematikkdelen. Spørsmålet er vanligvis ganske enkelt og greit, men det krever at du kjenner reglene for absolutt verdi for å svare på det riktig. Alt som er en absolutt verdi vil bli satt i parentes med absolutte verditegn som ser slik ut: || For eksempel $|-4|$ eller $|x-1|$

En absolutt verdi er en representasjon av avstand langs en talllinje, fremover eller bakover.

Dette betyr at det som er i absoluttverditegnet vil bli positivt siden det representerer avstand langs en talllinje og det er umulig å ha en negativ avstand. For eksempel, på talllinjen ovenfor, er -2 2 unna 0. Alt innenfor den absolutte verdien blir positivt.

Dette betyr også at en absoluttverdiligning alltid vil ha to løsninger . For eksempel vil $|x-1|=2$ ha to løsninger $x-1=2$ og $x-1=-2$. Deretter løser du hver enkelt ligning for å finne de to løsningene, $x=3,-1$.

Når du arbeider med absolutte verdiproblemer, husk at du må lage to separate løsninger, den positive og den negative som vi gjorde ovenfor.

Kalkulatorøvingsoppgave

Svar Forklaring:

Hvis verdien av $|n−1|+1$ er lik 0, vil $|n−1|+1=0$. Å trekke 1 fra begge sider av denne ligningen gir $|n−1|=−1$. Uttrykket $|n−1|$ på venstre side av ligningen er den absolutte verdien av $n−1$, og som jeg nettopp nevnte, kan den absolutte verdien aldri være et negativt tall siden den representerer avstand. Dermed har $|n−1|=−1$ ingen løsning. Derfor er det ingen verdier for n der verdien av $|n−1|+1$ er lik 0. D er det riktige svaret.

Tips:

Husk reglene for absolutt verdi (det er alltid positivt!). Hvis du husker reglene, bør du få spørsmålet riktig!

Tegne grafiske lineære ligninger

Disse spørsmålene tester din evne til å lese en graf og tolke den til $y=mx+b$ form. En rask oppfriskning, $y=mx+b$ er helnings-skjæringspunktet-ligningen til en linje, der m representerer helningen og b representerer y-skjæringspunktet.

I disse spørsmålene vil du vanligvis bli presentert med grafen til en linje, og du må finne ut hva helningen og y-skjæringspunktet er for å skrive likningen til linjen.

Kalkulatorøvingsoppgave

Svar Forklaring:

Forholdet mellom h og C er representert av en hvilken som helst ligning for den gitte linjen. Linjens C-skjæringspunkt er 5. Siden punktene $(0, 5)$ og $(1, 8)$ ligger på linjen, er helningen på linjen ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Derfor kan forholdet mellom h og C representeres ved $C=3h+5$, helnings-avskjæringsligningen til linjen. C er det riktige svaret.

Tips:

Ha skråningsavskjæringsformen ($y=mx+b$) og helningsligningen $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$ lagret. Vet hva hver variabel i ligningene betyr. Hvis du vet alt dette, bør du være i stand til å klare ethvert grafisk lineært ligningsproblem du får.

Lineære ulikheter og systemer av lineære ulikheter

Disse er uten tvil de mest utfordrende Heart of Algebra-spørsmålene fordi mange elever sliter når variabler kombineres med ulikheter. Hvis du trenger en rask, men grundig oppfriskning av ulikheter, sjekk ut vår ulikhetsguide.

Disse spørsmålene vises vanligvis mot slutten av flervalgs- og rutenettet i hver seksjon. Disse spørsmålene vil bli presentert som enkle allerede satt opp ulikheter (du vil ikke bli bedt om å skape ulikheter, og du vil heller ikke bli presentert for et virkelig scenario som bruker ulikheter). Selv om de er presentert på en enkel måte, er disse spørsmålene utfordrende, og det er lett å gjøre feil, så ta deg god tid!

Kalkulatorøvelsesproblemer

Svar Forklaring:

Å trekke fra $3x$ og legge til 3 på begge sider av $3x−5≥4x−3$ gir $−2≥x$. Derfor er x en løsning på $3x−5≥4x−3$ hvis og bare hvis x er mindre enn eller lik −2 og x IKKE er en løsning på $3x−5≥4x−3$ hvis og bare hvis x er større enn −2. Av valgene som er gitt, er bare −1 større enn −2 og kan derfor ikke være en verdi av x. A er det riktige svaret.

Du kan også prøve å svare på dette ved å plugge inn svarvalgene og se hvilket som ikke fungerte. Hvis du plugger inn A i ulikheten, vil du få $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Hvis du forenkler ulikheten, vil du få -8≥-7, noe som ikke er sant, så A er det riktige svaret.

Tips

Husk reglene for ulikheter! Ta deg tid til å jobbe deg gjennom hvert trinn slik at du ikke gjør noen feil. Husk også å prøve å plugge inn svarvalgene for å finne riktig svar!

La oss ta en titt på et annet eksempel.

Svar Forklaring:

Siden (0, 0) er en løsning på systemet med ulikheter, må å erstatte 0 for x og 0 for y i det gitte systemet resultere i to sanne ulikheter. Etter dette byttet, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Derfor er a positiv, og b er negativ. Derfor, a > b. Valg A er riktig.

Tips:

Behandle dette systemet av ulikheter med fire variabler på samme måte som du vil behandle et ulikhetssystem med to variabler. Husk at hvis (0,0) er en løsning betyr det at når x=0, y=0.

4 nøkkelstrategier for Heart of Algebra

Jeg har blandet strategiene for å angripe disse spørsmålene gjennom denne artikkelen i 'tips'-delene, men jeg skal oppsummere dem her nå.

Strategi #1: Husk reglene og formelen

Du må kjenne reglene for ulikheter , reglene for absolutt verdi og formelen for skjæringshellingsversjonen av en linje ($y=mx+b$) for å svare på disse typene algebraspørsmål riktig. Uten reglene og formelen er disse spørsmålene ganske umulige.

Hvis du trenger mer hjelp med noen av konseptene, sjekk ut våre grundige veiledninger til lineære ligninger, likningssystemer , absolutt verdi , intercept-slope form og lineære ulikheter og ulikheter.

Strategi #2: Plugge inn svar

På flervalgsspørsmålene bør du sjekk alltid for å se om du kan koble inn svarvalgene til gitte ligning(e) eller ulikhet for å finne det riktige svaret . Noen ganger vil denne tilnærmingen være mye enklere enn å prøve å løse ligningen.

Selv om du finner ut at å koble til svar bremser deg, bør du i det minste vurdere å bruke det til å sjekke arbeidet ditt. Plugg inn svarvalget du finner og se om det resulterer i en balansert ligning eller korrigerer ulikheter. Hvis det gjør det, vet du at du har det riktige svaret!

Plugg den inn! Plugg den inn!

Strategi #3: Plugge inn tall

Hvis det ikke er mulig å plugge inn svar, er det ofte en mulighet å plugge inn tall, slik som i spørsmål 2 ovenfor. Når du velger tall som skal plugges inn, anbefaler jeg generelt ikke å bruke -1, 0 eller 1 (da de kan resultere i feil svar), og sørg for å lese spørsmålet for å se hvilke tall du bør velge. For eksempel, i spørsmål 2, representerte tallene antall sendte tekstmeldinger, så du bør ikke bruke et negativt tall for å representere antall tekstmeldinger siden det er umulig å sende et negativt antall tekstmeldinger.

For ulikheter er dette spesielt viktig, ofte vil spørsmålet si 'følgende er sant for alle $x>0$.' Hvis det er tilfelle, kan du ikke plugge inn 0 eller -5; du kan bare plugge inn tall som er større enn 0 siden det er parameteren satt av spørsmålet.

Strategi #4: Jobb ett trinn om gangen

For Heart of Algebra-spørsmål må du ta deg tid til å jobbe gjennom hvert trinn. Disse spørsmålene kan involvere 5, 10, 15 trinn, og du må ta deg god tid til å sørge for at du ikke gjør en liten feil i trinn 3 som vil resultere i et feil svar. Du kan tingene dine, så ikke la små feil koste deg poeng!

Hva blir det neste?

Nå som du vet hva du kan forvente av Heart of Algebra-spørsmål, sørg for at du er forberedt på alle de andre matteemnene du vil se på SAT. Alle våre matematikkguider vil ta deg gjennom strategier og øvingsoppgaver for alle emnene som dekkes i matematikkdelen, fra heltall til forholdstall , sirkler til polygoner (og mer!).

Føler du deg engstelig for testdagen? Sørg for at du vet nøyaktig hva du skal gjøre og ta med for å lette tankene dine og sette nervene til ro før det er på tide å ta SAT.

Går du tom for tid på SAT-matematikkdelen? Se ikke lenger enn vår guide for å hjelpe deg å slå klokken og maksimere din SAT-mattepoengsum.

Fiske for å få en perfekt poengsum? Sjekk ut vår guide for å få en perfekt 800 , skrevet av en perfekt målscorer.