Settsymboler er en samlebetegnelse som brukes for alle symbolene som brukes i settteori som er den grenen av matematikken som omhandler samling av objekter og deres ulike egenskaper. Et sett er en veldefinert samling av objekter hvor hvert objekt i samlingen kalles et element og hvert element i settet følger en veldig spesifikk regel. Vanligvis brukes stor bokstav i engelske alfabeter for å betegne sett, og noen bokstaver angir noen spesifikke sett i settteori.
Det er mange symboler brukt gjennom studiet av denne grenen av matematikk, noen av de vanlige symbolene er {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø, osv. Vi vil diskutere alle disse symbolene i detalj i artikkelen inkludert historien til disse symbolene også. Så la oss starte reisen vår med å lære om forskjellige settsymboler som brukes i settteori.
Innholdsfortegnelse
- Hva er settsymboler?
- Historien om settsymboler
- Grunnleggende konsepter for innstilte symboler
- Sett symboler i matematikk
- Sett teorisymboler
- Løste eksempler på settsymboler
- Øvingsspørsmål for Set Symboler
- Vanlige spørsmål
Hva er settsymboler?
Settsymboler er grunnleggende byggeklosser i matematikk som brukes til å representere og beskrive grupper av objekter, tall eller elementer som har lignende egenskaper. Disse symbolene tilbyr en klar og konsekvent tilnærming til å kommunisere vanskelige ideer om sett og deres interaksjoner. Det mest typiske settsymbolet er ∈, som står for medlemskap og uttales som tilhører. ∈ indikerer at et element er en del av et spesifikt sett.
I motsetning til dette betyr ∉ at et element ikke er en del av et sett. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅, osv. er noen av de vanlige eksemplene på symboler i settteori. Disse og andre symboler gjør det mulig for matematikere å definere operasjoner, spesifisere operasjoner og formulere eksakte matematiske påstander, og legger grunnlaget for en rekke matematiske spesialiteter og praktiske bruksområder.
Les mer om Settteori .
Eksempel på settsymboler
La oss bruke symbolet, som står for skjæringspunktet mellom sett, som en illustrasjon. La E og F være to sett slik at sett E = {1, 3, 5, 7} og sett F = {3, 6, 9}. Da representerer ∩-symbolet skjæringspunktet mellom begge settene, dvs. E ∩F.
Her inneholder E ∩ F alle elementene som er felles i begge settene E og F, dvs. {3}.
Avslutningsvis brukes ∩-symbolet for å identifisere elementene som deles av to eller flere sett. Krysset produserer bare sett som har elementer som deles av alle sett som blir krysset.
Lære mer om Skjæringspunktet mellom sett .
Historien om settsymboler
Mellom 1874 og 1897 ringte en tysk matematiker Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor utviklet en abstrakt teori kalt settteori. Han foreslo det mens han undersøkte noen faktiske bekymringer som involverte spesifikke former for uendelige sett med reelle tall. Et sett er ifølge forestillingen en gruppering av visse definerte og distinkte observasjonsobjekter. Alle disse tingene blir referert til som medlemmer eller komponenter av settet. Egenskapen til reelle algebraiske tallkombinasjoner er grunnlaget for Cantors teori.
Grunnleggende konsepter for innstilte symboler
Ulike ideer dekkes på ulike nivåer av skolegang i settteori. Settrepresentasjon, setttyper, settoperasjoner (som union og skjæring), settkardinalitet og relasjoner og så videre er blant de essensielle begrepene. Noen av de essensielle konseptene i settteori er som følger:
Universalsett
Den store bokstaven 'U' brukes vanligvis for å representere et universalsett. Det er også noen ganger symbolisert med ε(epsilon). Det er et sett som inneholder alle elementene i andre sett så vel som sine egne.
Komplement av sett
Komplementet til et sett omfatter alle det universelle settets bestanddeler bortsett fra elementene i settet som undersøkes. Hvis A er et sett, vil komplementene inneholde alle medlemmene av det spesifiserte universelle settet (U) som ikke er inkludert i A. Et setts komplement er indikert eller uttrykt som A' eller Acog er definert som:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Les mer om Komplement av sett .
Angi Builder-notasjon
Set Builder-notasjon er metoden for å representere sett på en slik måte at der vi ikke trenger å liste opp alle elementene i settet, trenger vi bare å spesifisere regelen som følges av alle elementene i settet. Noen eksempler på disse notasjonene er:
Hvis A er en samling av reelle tall.
A = {x : x ∈ R}
Hvis A er en samling av naturlige tall.
A = {x : x> 0 og x ∈ Z]
Hvor MED er sett med heltall.
Les mer, Representasjon av sett .
Sett symboler i matematikk
For å referere til forskjellige ting og mengder, bruker settsymbolet ofte en forhåndsdefinert liste med variable symboler. For å lese og lage settnotasjon, må du først forstå hvordan du bruker symboler i forskjellige situasjoner. La oss se på alle settteoretiske notasjoner og symboler knyttet til operasjoner, relasjoner og så videre, sammen med deres betydninger og eksempler, under denne kategorien.
Symboler som brukes i tallsystem
Symbolene som brukes i tallsystemer er inkludert i tabellen nedenfor:
| Symbol | Navn | Betydning/definisjon | Eksempel |
|---|---|---|---|
| W eller 𝕎 | Hele tall | Dette er de naturlige tallene. | Vi vet at N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈ N |
| N eller ℕ | Naturlige tall | Naturlige tall blir noen ganger referert til som telletall som begynner med 1. | Vi vet at W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z eller ℤ | Heltall | Heltall er sammenlignbare med hele tall, bortsett fra at de også inkluderer negative verdier. | Vi vet at Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . .} -6 ∈ Z |
| Q eller ℚ | Rasjonelle tall | Rasjonale tall er de som er oppgitt som a/b. I dette tilfellet er a og b heltall med b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z og b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P eller ℙ | Irrasjonelle tall | De tallene som ikke kan representeres i form av a/b, kalles irrasjonelle tall, dvs. alle reelle tall som ikke er rasjonelle. singleton design | P = x π, og ∈ P |
| R eller ℝ | Reelle tall | Hele tall, rasjonelle tall og irrasjonelle tall utgjør reelle tall. | R= x 6,343434 ∈ R |
| C eller ℂ | Komplekse tall | Et komplekst tall er en kombinasjon av et reelt tall og et imaginært tall. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 Jeg ∈ C |
Sett teorisymboler
Skilletegn er spesialtegn eller sekvenser av tegn som indikerer begynnelsen eller slutten av en bestemt setning eller funksjonstekst i et spesifisert sett. Følgende er avgrensningssettteoriens symboler og betydninger:
| Symbol | Navn | Betydning/definisjon | Eksempel |
|---|---|---|---|
| {} | Sett | Innenfor disse parentesene er en haug med elementer/tall/alfabeter i et sett. | {15, 22, c, d} |
| | | Slik at | Disse brukes til å konstruere et sett ved å spesifisere hva som finnes i det. | q> 6 Utsagnet spesifiserer samlingen av alle q-er slik at q er større enn 6. |
| : | Slik at | :-symbolet brukes noen ganger i stedet for | symbol. | Setningen ovenfor kan alternativt skrives som q . |
Sett og relasjonssymboler i settteori
Settteori-symboler brukes til å identifisere et spesifikt sett samt for å bestemme/vise et forhold mellom distinkte sett eller relasjoner inne i et sett, for eksempel forholdet mellom et sett og dets bestanddeler. Tabellen nedenfor viser slike relasjonssymboler, sammen med deres betydninger og eksempler:
| Symbol | Navn | Betydning/definisjon | Eksempel |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | Er en komponent av | Dette spesifiserer at et element er medlem av et spesifikt sett. | Hvis et sett A={12, 17, 18, 27} kan vi si at 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Er ikke en komponent av | Dette indikerer at et element ikke tilhører et bestemt sett. | Hvis en mengde B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, hører ikke noe annet element enn det i settet til dette settet. Som et eksempel, 18 ∉ B. |
| A = B | Likestillingsforhold | De medfølgende settene er likeverdige i den forstand at de har de samme komponentene. | Hvis du setter P={16, 22, a} og Q={16, 22, a}, så P=Q. |
| A ⊆ B | Delsett | Når alle elementene til A er tilstede i B, er A en delmengde av B. | A= {31, b} og B={a, b, 31, 54} hvordan oppdatere i java {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Riktig delsett | P sies å være en riktig delmengde av B når den er en delmengde av B og ikke lik B. | A= {24, c} og B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Ikke et undersett | Som et resultat er ikke sett A en delmengde av sett B. | A = {67,52} og B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | Supersett | A er et supersett av B hvis sett B er en delmengde av A. Sett A kan være det samme som eller større enn sett B. | A = {14, 18, 26} og B={14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Riktig supersett | Sett A har flere elementer enn sett B siden det er et supersett av B. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | Ikke et supersett | Når alle elementene til B ikke er til stede i A, er ikke A et ekte supersett av B. | A = {11, 12, 16} og B ={11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Tomt sett | Et tomt eller nullsett er et som ikke inkluderer noen elementer. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| I | Universalsett | Et sett som inneholder elementer fra alle relevante sett, inkludert sine egne. | Hvis A = {a,b,c} og B = {1,2,3,b,c}, så er U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| eller n{A} | Kardinalitet av et sett | Kardinalitet refererer til antall gjenstander i en bestemt samling. | Hvis A= {17, 31, 45, 59, 62}, så |A|=5. |
| P(X) | Strømsett | Et kraftsett er settet av alle delmengder av sett X, inkludert selve settet og nullsettet. | Hvis, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Operatørbaserte symboler i settteori
Med eksempler vil vi studere settteoretiske symboler og betydninger for en rekke operasjoner som forening, komplement, skjæringspunkt, forskjell og andre.
| Symbol | Navn | Betydning/definisjon | Eksempel |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Union av sett | Sammenslåingen av sett skaper et helt nytt sett ved å kombinere alle komponentene i de medfølgende settene. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (A forening B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Skjæringspunktet mellom sett | Felleskomponenten til begge settene er inkludert i skjæringspunktet. | A = { 4, 8, a, b} og B = {3, 8, c, b}, så A ∩ B = {8, b} |
| XcELLERX' | Komplement av et sett | Et setts komplement omfatter alle ting som ikke tilhører det medfølgende settet. | Hvis A er universell sett og A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} og B = {13, 15, 17, 18, 19} X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A - B | Angi forskjell | Differansesettet er et sett som inneholder elementer fra ett sett som ikke finnes i et annet. | A = {12, 13, 15, 19} og B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Kartesisk produkt av sett | Et kartesisk produkt er produktet av de bestilte komponentene i settene. | A = {4, 5, 6} og B = {r} Nå, A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Symmetrisk forskjell på sett | A Δ B = (A – B) U (B – A) angir den symmetriske forskjellen. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Les mer
- Typer sett
- Drift på sett
Løste eksempler på settsymboler
Eksempel 1: Gitt to sett med P={21, 32, 43, 54, 65, 75} og Q={21, 43, 65, 75, 87, 98} hva er verdien av P∪Q?
Svar:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} og Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Eksempel 2: Hva er verdien av |Y| hvis Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Svar:
|Y| = Kardinalitet av settet=antall elementer i settet er løsningen.
|Y| = n(Y)=6, siden mengden Y har 6 elementer.
Eksempel 3: Gitt to sett med verdiene P={a,c,e} og Q={4,3}, bestem deres kartesiske produkt.
Svar:
Kartesisk produkt = P × Q
Hvis P={b, d, f} og Q={5, 6}
Da er P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Eksempel 4: Anta at P = {x: x er et naturlig heltall og et multiplum av 24, og Q = {x: x er et naturlig tall mindre enn 8}. Bestem P ∪ Q.
Svar:
Gitt at
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
midtknapp cssQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Som et resultat er P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Eksempel 5: Anta P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Finn (P ∩ Q)’.
Svar:
Gitt, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Derfor,
(P ∩ Q)' = {3, 5, 6, 7, 8}
Eksempel 6: Hvis P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} og Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, bestem
(i) P-Q og (ii) P-Q.
Svar:
gitt,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} og Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Øvingsspørsmål for settsymboler
Spørsmål 1: Gitt settene:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Bestem elementene i foreningen av sett A og B.
Spørsmål 2: La oss vurdere settene:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Finn skjæringspunktet mellom settene X og Y.
Spørsmål 3: Anta at du har settene:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Regn ut elementene i mengden P – Q samt Q – P.
Spørsmål 4: La oss si at du har settene:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Finn ut om sett V er en delmengde av sett U.
Spørsmål 5: Tenk på settene:
- S = {eple, banan, appelsin, pære}
- T = {pære, mango, kirsebær}
Finn det kartesiske produktet av settene S og T.
Spørsmål 6: Anta at du har det universelle settet:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Og settene:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Beregn komplementet til mengden E og F med hensyn til det universelle settet U.
Vanlige spørsmål om Set Symbols
1. Definer Set Symbol.
Settsymbolet er en gren som studerer grupperinger av enheter/tall/objekter, deres relasjoner med andre sett, forskjellige operasjoner (forening, skjæringspunkt, komplement og forskjell), og tilhørende funksjoner.
2. Hva representerer dette symbolet ⊆?
Symbolet ⊆ betyr er en delmengde av. Et undersett er et sett hvis elementer er lagt til som om de alle var elementer i et annet sett.
3. Hva betyr ∪ i sett?
'∪' er tegnet for den innstilte foreningen. A ∪ B er et sett som inneholder alle elementene i settene A og B.
4. Hva representerer P = Q?
Hvis sett P er lik sett Q, er medlemmene av P og Q like. For eksempel:
P = {4,5,6} og Q = {6,5,4}
Som et resultat er P = Q.
5. Hva betyr ∩ i matematikk?
'∩' betyr foreningen av to sett. A ∩ B er et sett som inneholder elementer som deles av både A og B.
6. Hva er ∈ i sett?
∈ er et tegn som betyr ‘tilhører’. Hvis b ∈ B, indikerer det at b er et element av B.
7. Hva er mengden N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} kjent som?
Settet med naturlige tall er definert som N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Det inneholder alle positive tall, fra 1 til et uendelig tall. Denne samlingen er avgjørende for matematikk og gir et rammeverk for både bestilling og telling.
8. Hva er A × B i sett?
Det kartesiske produktet av settene A og B vises som A x B i settsymbolet. Det er settet som inkluderer alle mulige ordnede paringer der det første elementet er trukket fra sett A og det andre fra sett B.
9. Hvordan vil du lese A ∩ B?
A∩B uttales A kryss B. Det står for mengden som inneholder elementer som er felles i begge settene.
10. Hva betyr Ø i settteori?
I settteori er ideen om et tomt sett, som ikke har noen elementer, betegnet med symbolet Ø (uttales tomt sett).
11. Hva er AUB?
AUB i matematikk står for foreningen av settene A og B. Det refererer til settet som inkluderer hvert element fra både sett A og B.
12. Er ∅ det samme som {}?
Ja, ∅ og {} representerer begge den tomme mengden i matematikk. Dermed er begge forskjellige notasjoner av samme ting.