de Cosinus funksjon eller cos funksjon er kort fortalt en av de seks Trigonometriske funksjoner grunnleggende for trigonometri. Cosinus i trigonometri er gitt som forholdet mellom basen og hypotenusen til en rettvinklet trekant. Cosinusfunksjon er representert som Cos x hvor x er vinkelen som cosinusforholdet beregnes for. Når det gjelder funksjon, kan vi si at x er inngangen eller domenet til cosinusfunksjonen.

Det er mye brukt i et bredt spekter av fag som fysikk, geometri og ingeniørfag blant annet generelt ved å utnytte dens periodiske natur. For eksempel brukes det til å definere bølgenaturen til lydbølger, beregninger av elektrisk fluks gjennom en plan overflate osv. I denne artikkelen lærer vi i detalj om hva som er cosinusfunksjon, domene og rekkevidde av cosinusfunksjonen, perioden og grafen til cosinusfunksjonen.

Innholdsfortegnelse

• Hva er cosinusfunksjonen?
• Cos i enhetssirkel
• Cosinus funksjonsgraf
• Invers av cosinusfunksjon
• Cosinusfunksjon i kalkulus
• Cos Funksjonsidentiteter

Hva er cosinusfunksjonen?

Cosinusfunksjon er en trigonometrisk funksjon som i utgangspunktet er periodisk i naturen. Cosinusfunksjon uttrykkes som cos x hvor x er en av de spisse vinklene i en rettvinklet trekant. Cosinusfunksjonen finner forholdet mellom base og hypotenusa for en gitt verdi av x. Cosinusfunksjonen er forkortet som cos(x) eller cos(θ) der x er vinkelen i radianer og theta θ er vinkelen i grader som regel. Cosinusfunksjonen kan defineres ved hjelp av en enhetssirkel, dvs. en sirkel med enhetsradius som vi vil se senere i denne artikkelen. Det er periodisk i naturen og gjentar verdiene etter hver fullstendig rotasjon av vinkler. På et kartesisk plan kan det refereres til som vektorkomponenten til hypotenusen parallelt med x-aksen.

Definisjon av cosinusfunksjon

Cosinusfunksjonen er definert i en rettvinklet trekant som forholdet mellom lengden på siden ved siden av den aktuelle vinkelen og lengden på hypotenusen. Matematisk er Cosinus-funksjonen gitt som

Cos x = Cos θ = Lengde på base/lengde på hypotenus = b/h = OB/OA

hvor x er vinkelen i radianer og θ er ekvivalent vinkel i grader.

Domene og rekkevidde av Cos-funksjon

Vi vet at for en funksjon er domene de tillatte inngangsverdiene og range er utdataverdien for den bestemte inngangs- eller domeneverdien. Derfor kan vi anta at funksjonen fungerer som en prosessor som tar input, behandler den og gir spesiell utgang. Domenet og området for cos-funksjonen er diskutert nedenfor:

• Domene for cosinusfunksjon: R dvs. sett med alle reelle tall.
• Rekkevidde for cosinusfunksjon: [-1, 1], dvs. utdata varierer mellom alle reelle tall mellom -1 og 1.

Periode for en cosinusfunksjon

De funksjon er periodisk av natur, det vil si at den gjentar seg selv etter 2π eller 360°. Med andre ord, det gjentar seg selv etter hver fullstendig rotasjon. Derfor er perioden med cosinusfunksjon en fullstendig rotasjon eller en vinkel på 360° (eller 2π).

Gjensidig av en cosinusfunksjon

Den gjensidige av en cosinusfunksjon er kjent som sekant funksjon eller sek for kort. Matematisk er den resiproke av cosinusfunksjonen gitt som

git status -s

sek(θ) = 1/cos(θ)

I henhold til reglene for Gjensidige , hvis vi multipliserer Cos x med Sec x, vil produktet alltid være 1.

Cosinus funksjonsgraf

Grafen for cosinusfunksjonen ligner grafen for sinusfunksjonen med en grunnleggende forskjell at for x = 0 går sin funksjonsgraf fra origo, mens ved x = 0 går cosinusfunksjonsgrafen fra (0, 1) ved y-aixs. Følgende er grafen for verdien av cosinusfunksjonen, dvs. y = cos x

Egenskapene diskutert ovenfor kan sees i grafen som funksjonens periodiske natur.

Variasjon av cosinusfunksjon i graf

Siden området for cosinusfunksjonen er [-1, 1], varierer det derfor fra -1 til 1 i grafen. Den viser sin periodiske natur ettersom grafen gjentas etter hver lengde 2π på x-aksen. Dette gjenspeiler at cosinusfunksjonen har en periode på 2π (eller 360°).

Cos i enhetssirkel

Cosinusfunksjon kan defineres ved hjelp av enhetssirkel. La oss forstå hvordan vi kan definere cosinusfunksjon i form av enhetssirkel.

Betrakt et linjestykke OA som roterer rundt punktet O der O er opprinnelsen til det kartesiske planet. Dermed beskriver rotasjonen av OA en enhetssirkel (sirkel av enhetsradius) sentrert ved origo O og punktet A ligger alltid på denne sirkelen. Hvis vi slipper en perpendikulær fra A på x-aksen og kaller skjæringspunktet som B, og θ er vinkelen som OA lager med den positive retningen til x-aksen, så er cos(θ) = projeksjon av hypotenusen på x -akse = OB/|OA| = OB (siden |OA| = 1 enhet).

Merk at retningen OB er viktig som vist i de følgende figurene. Det grønne segmentet angir lengden/størrelsen og pilen angir retningen (+ve eller -ve) til cos(θ)

Merk at verdien av cos(θ) er positiv for θ som tilhører første og fjerde kvadrant, mens negativ for θ som tilhører andre og tredje kvadrant.

Invers av cosinusfunksjon

Det inverse av en cosinusfunksjon kjent som bue-kosinus funksjon og forkortet som arccos(x) eller cos ^-1 (x) er definert som følger

cos(x) = y

⇒ cos ^-1 (y) = x

Domene og rekkevidde for invers cosinusfunksjon

Domenet og området for invers cosinusfunksjon er nevnt nedenfor:

• Domene med invers cosinusfunksjon: Alle reelle tall i området [-1, 1]
• Omfang av invers cosinus-funksjon: Alle reelle tall i området [0, π]

Hyperbolsk cosinusfunksjon

Hyperbolske funksjoner er analoge ekvivalenter til trigonometrisk funksjon hvis algebraiske uttrykk er i form av eksponentiell funksjon. Den hyperbolske cosinusfunksjonen forkortet som cosh(x) hvor x er en hyperbolsk vinkel er et konsept av hyperbolsk geometri. Som (cos(x), sin(x)) representerer et punkt på en enhetssirkel, (cosh(x), sinh(x)) representerer et punkt på en enhetshyperbel, dvs. xy = 1 der sinh(x) representerer hyperbolsk sinusfunksjon. Den algebraiske utvidelsen av hyperbolsk cos-funksjon er gitt som

cosh(x) = (e ^x + og ^-x )/2

Flere detaljer om hyperbolske funksjoner er utenfor rammen av denne artikkelen, men du kan referere til denne artikkelen .

Cosinusfunksjon i kalkulus

Grenen av kalkulus i matematikk omhandler differensiering og integrasjon av en gitt funksjon. Differensiering av funksjon er endringshastigheten i funksjonen med hensyn til den uavhengige variabelen mens integrasjon er den omvendte prosessen med differensiering som omhandler å finne integralet til en funksjon hvis deriverte eksisterer.

Derivat av cosinusfunksjon

De derivat av cosinusfunksjon er lik minus av sinusfunksjon. Matematisk

d(cos(x))/dx = -sin(x)

Integrasjon av cosinusfunksjon

De ubestemt integral av cosinusfunksjonen er lik sinusfunksjonen. Matematisk –

∫cos(x)dx = sin(x) + C, hvor C er integrasjonskonstanten.

Sinus- og cosinusfunksjoner

Følgende graf representerer nøkkelforskjellen mellom både sinus- og cosinusfunksjon:

Forskjellen mellom sinus- og cosinusfunksjoner

Følgende tabell viser forskjellene mellom sinus- og cosinusfunksjon –

Cos verditabell

Følgende tabell gir verdiene til cosinusfunksjonen for noen vanlige vinkler i den første kvadranten av kartesisk plan -

Vi kan enkelt beregne verdiene til andre vanlige vinkler som 15°, 75°, 195°, -15° osv. ved å bruke disse verdiene ved å bruke formlene cos (x + y) og cos (x – y) beskrevet senere i denne artikkel.

Kryss av, Trigonometrisk tabell

Cos Funksjonsidentiteter

De grunnleggende trigonometriske identitetene knyttet til cosinusfunksjon er nevnt nedenfor:

• uten²(x) + cos²(x) = 1
• cos(x + y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
• cos(-x) = cos(x)
• cos(x) = 1/sek(x)
• cos 2x = cos²x – synd²x = 1 – 2sin²x = 2cos²x – 1 = (1 – brun²x/1 + brun²x)
• cos 3x = 4cos³x – 3cos x

relaterte artikler

• Differensiering av trigonometriske funksjoner
• Inverse trigonometriske funksjoner
• Inverse trig-derivater

Løste eksempler på cosinusfunksjon

Her er noen løste eksempler for å hjelpe deg bedre å forstå konseptet med cosinusfunksjon.

Eksempel 1: Hva er maksimums- og minimumsverdiene for cosinusfunksjonen?

Løsning:

Maksimumsverdien for cosinusfunksjonen er 1 ved 0° og 180° mens minimumsverdien for funksjonen er -1 ved 180°.

Eksempel 2: Ved hvilken(e) vinkel(r) i området [0, 360] er verdien av cosinusfunksjonen 0?

Løsning:

Verdien av cosinusfunksjonen er 0 ved vinklene 90° og 270°.

Eksempel 3: For hvilke kvadranter er verdien av cosinusfunksjon negativ?

Løsning:

Cosinusfunksjonen er negativ i II^ndog III^rdkvadranter.

Eksempel 4: Regn ut verdien av cos (45°).

Løsning:

java returkommando

I henhold til identitet 4 gitt ovenfor, cos(-x) = cos(x).

Derfor er cos(-45°) = cos(45°) = 1/√2

Eksempel 5: Regn ut verdien av cos(15°).

Løsning:

Bruk av identitet 3 gitt ovenfor –

cos(15degree) = cos(45degree – 30degree) ewline = cos(45degree)cos(30degree) + sin(45degree)sin(45degree) ewline = frac{1}{sqrt2} imesfrac{sqrt3}{2} + frac{1}{sqrt2} imes frac{1}{2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2}

Eksempel 6: Hva er cos ^-1 (1/2) i området [0,π]?

Løsning:

La cos^-1(1/2) = y.

Derfor er cos(y) = 1/2 ⇒ y = π/3 i det gitte området ovenfor.

Derfor er svaret π/3.

Eksempel 7: Hva er verdien av cos(-15°)?

Løsning:

Ved å bruke identiteten 3 gitt ovenfor –

cos(-15degree) ewline = cos(30degree – 45degree) ewline = cos(30degree)cos(45degree) + sin(30degree)sin(45degree) ewline = frac{sqrt3}{2} imesfrac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{2} imesfrac{1}{sqrt2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2} .

Alternativt kan vi også bruke identiteten cos(-x) = cos(x) og bruke verdien av cos(15°) beregnet i eksempel 5.

Eksempel 8: Regn ut arealet under grafen til cosinusfunksjonen for x = 0 til x = π/2.

Løsning:

Det gitte arealet kan beregnes ved å løse følgende bestemte integral –

int_0^{frac{pi}{2}}cos(x)dx ewline = sin(frac{pi}{2}) – sin(0) ewline = 1 – 0 ewline = 1

Derfor er svaret 1 kvadratenhet.

Eksempel 9: Hvis cos(x) = π/3, finn verdien av cos(3x) (i desimalform med to desimalsifferpresisjon).

Løsning:

Ved å bruke identiteten – cos(3x) = 4cos³(x) – 3cos(x) –

cos(3x) = 4⨉(π/3)³-3⨉(π/3) ≅ 4,59 – π = 1,45

Eksempel 10: Finn verdien av cos(120°).

Løsning:

Bruk av identiteten for cos(2x)

cos(120°) = cos(2⨉60°) = 1 – 2 sin²(60°) = 1- 2⨉(√3/2)²= 1 – 3/2 = -1/2

Praksisspørsmål: Cos-funksjoner

Q1. Hva er formelen for å beregne cos for en vinkel i en rettvinklet trekant?

Q2. Hva er den geometriske tolkningen av cos på kartesisk plan?

Q3. Beregn verdien av cos(120°).

Q4. Finn verdien av cos ^-1 (√3/2) i området [π, 2π].

Q5. Hvis en stolpe kaster en skygge av samme lengde på bakken, finn vinkelen til solen i forhold til bakken hvis solen er i øst-retningen.

Sammendrag – Cosinus-funksjon

Cosinusfunksjonen, betegnet som cos(x), er en grunnleggende trigonometrisk funksjon definert som forholdet mellom basen og hypotenusen i en rettvinklet trekant og er essensiell på tvers av forskjellige felt som fysikk, ingeniørvitenskap og geometri på grunn av dens periodiske natur. , som er medvirkende til å modellere bølgeatferd. Den har et domene med alle reelle tall og et område fra -1 til 1, og gjentar syklusen hver 2. Pi radianer eller 360 grader, tydelig fra dens bølgelignende graf som starter på (0,1). Når det gjelder kalkulus, er den deriverte av cos(x) − sin( x ), og dens integral gir sin( x )+ C , med C som integrasjonskonstanten. Denne funksjonen strekker seg også til hyperbolske former, for eksempel cosh(x), og forbedrer dens anvendelse i ulike matematiske sammenhenger og løsninger, inkludert bølgeberegninger og oscillasjoner i fysiske systemer.

Cosinus-funksjon: Vanlige spørsmål

1. Hva er cosinusfunksjon?

Cosinusfunksjonen er en av de grunnleggende trigonometriske funksjonene. Det er definert i en rettvinklet trekant som forholdet mellom lengden på siden ved siden av den aktuelle vinkelen og lengden på hypotenusen.

2. Er Cos og Cosinus det samme i trigonometri?

Ja. cos er en forkortelse/kortform av cosinusfunksjonen.

3. Hva er Range of Cos-funksjonen?

Området til cos- eller cosinusfunksjonen er alle reelle tall som strekker seg fra -1 til 1, dvs. [-1,1].

4. Hva er Domain of Cos-funksjonen?

Domenet til cos- eller cosinusfunksjonen er seren til alle reelle tall, dvs. R .

5. Hva er den maksimale verdien av Cosinus-funksjonen?

Maksimal verdi for cosinusfunksjonen er 1 for alle vinkler som tilsvarer 0° eller 360°.

6. Hva er minimumsverdien for cosinusfunksjonen?

Minimumsverdien for cosinusfunksjonen er -1 for alle vinkler som tilsvarer 180°.

7. Hvordan finne verdien av Cos(-x)?

Verdien av cos(-x) kan beregnes ved å beregne verdien av cos(x) på grunn av eksistensen av følgende identitet: cos(-x) = cos(x).

8. Hvordan tegne grafisk cosinusfunksjon?

For å tegne grafen for cosinusfunksjonen på et kartesisk plan, referer til x-aksen som representerer vinkler i radianer (eller grader) og y-aksen som representerer verdiene til cosinusfunksjonen for tilsvarende vinkel på x-aksen. Nå,

• Trinn 1: Ta en delmengde av x-aksen som du ønsker å tegne grafen for.
• Steg 2: Del x-aksen i dette området i ekvidistante punkter (dvs. det er likt mellomrom mellom alle underpunktene). Legg merke til at jo større antall inndelinger, jo større presisjon er den resulterende grafen.
• Trinn 3: For hvert av disse underpunktene x, merk punktet (x, cos(x)) på grafen.
• Trinn 4: Slå sammen alle de merkede punktene for å få grafen for cosinusfunksjonen (for delmengden av x-aksen du valgte).

9. Hvordan finne perioden for en cosinusfunksjon?

Perioden for en cosinusfunksjon refererer til minimumsområdet med verdier som funksjonen begynner å gjenta seg selv etter. Vi vet at cosinusfunksjonen gjentar seg selv etter hver fullstendig rotasjon som betyr 2π radianer. Derfor er perioden med cosinusfunksjon 2π radianer eller 360°.

10. Hva er amplitude av en cosinusfunksjon?

Amplituden til en cosinusfunksjon refererer til den maksimale forskyvningen av funksjonens verdi fra middelposisjonen, dvs. x-aksen. Amplituden til cosinusfunksjonen er 1 siden den maksimale forskyvningen er 1 (for verdiene -1 og 1 ved henholdsvis 180 og 0 grader. Merk at området for cosinusfunksjonen er [-amplitude, amplitude].