Invers av en 3 × 3 matrise er en matrise som multiplisert med den opprinnelige matrisen gir identitetsmatrise som produktet. Invers av en matrise er et grunnleggende aspekt ved lineær algebra. Denne prosessen spiller en avgjørende rolle i å løse systemer med lineære ligninger og ulike matematiske applikasjoner. For å beregne den inverse, er det nødvendig å beregne den tilstøtende matrisen, sjekke matrisens inverterbarhet ved å undersøke dens determinant (som ikke skal være lik null), og bruke en formel for å utlede den inverse matrisen.

Denne artikkelen dekker de ulike konseptene for den inverse av 3 × 3-matrisen og hvordan du finner den inverse av 3 × 3-matrisen ved å beregne kofaktorer, adjoints og determinanter for 3 × 3-matrisen. Senere i denne artikkelen finner du også løste eksempler for bedre forståelse, og det er også gitt øvingsspørsmål for å sjekke hva vi har lært av dette.

Innholdsfortegnelse

• Hva er inversen av 3 × 3 matrise?
• Hvordan finne inversen til 3 × 3 matrise?
• Elementer som brukes til å finne invers av 3 × 3 matrise
• Invers av 3 × 3 matriseformel
• Finne invers av 3 × 3 matrise ved hjelp av radoperasjoner

Hva er inversen til 3 × 3 matrise?

Den inverse av en 3 × 3 matrise er en matrise som, når multiplisert med den opprinnelige matrisen, resulterer i identitetsmatrisen. For å finne inversen kan du beregne den tilstøtende matrisen, bestemme om matrisen er inverterbar (ikke-singular) ved å sjekke dens determinant (som ikke skal være lik null), og deretter bruke formelen A^-1= (adj A) / (det A). Den inverse matrisen lar deg løse systemer med lineære ligninger og utføre ulike matematiske operasjoner.

Hvordan finne inversen til 3 × 3 matrise?

Følg trinnene nedenfor for å finne den inverse av 3 × 3 matrise:

Trinn 1: Først må du kontrollere om matrisen kan inverteres. For å gjøre dette, beregne determinanten til matrisen. Hvis determinanten ikke er null, fortsett til neste trinn.

Steg 2: Beregn determinanten for mindre 2 × 2 matriser innenfor den større matrisen.

Trinn 3: Lag kofaktormatrisen.

Trinn 4: Skaff Adjugatet eller Adjoint av matrisen ved å gjøre transponeringen av kofaktormatrisen.

Trinn 5: Til slutt deler du hvert element i adjugatmatrisen med determinanten til den opprinnelige 3 x 3 matrisen.

Relatert lesning

• Cofactor and Minors of Matrix
• Transponering av matrise

Elementer som brukes til å finne invers av 3 × 3 matrise

Det er hovedsakelig to elementer som brukes for å finne inversen til en 3 × 3 matrise:

hvem er urfi javed

• Adjoint av Matrix
• Determinant av matrise

Sammensetning av en 3 × 3 matrise

De tilknytning til en matrise A finnes ved å ta transponeringen av kofaktormatrisen til A. For å beregne adjunkten til en matrise i detalj, følg instruksjonene som er gitt.

For en 3 × 3 matrise er kofaktoren til ethvert element avgjørende faktor av en 2 × 2 matrise dannet ved å fjerne raden og kolonnen som inneholder det elementet. Når man skal finne kofaktorer, veksler man mellom positive og negative fortegn.

For eksempel gitt matrise A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Minor-matrisen oppnås som følger:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Beregn determinantene til 2 × 2-matrisene dannet ved å multiplisere diagonalt og subtrahere produktene fra venstre til høyre, dvs. Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Så kofaktormatrisen er:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Ved å transponere kofaktormatrisen får vi den tilstøtende matrisen.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinant av en 3 × 3 matrise

Ved å bruke samme eksempel som vi har diskutert ovenfor, kan vi beregne determinanten til matrise A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Beregn determinanten til matrise ved å bruke den første raden,

Det A = 2(kofaktor av 2) + 1(kofaktor av 1) + 3(kofaktor av 3)

At A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

At A = 2 + 4 – 6

At A = 0

Du kan sjekke Triks for å beregne determinant for en 3×3 matrise

Invers av 3 × 3 matriseformel

For å finne inversen til en 3 × 3 matrise A, kan du bruke formelen A-1 = (adj A) / (det A), hvor:

• adj A er den tilstøtende matrisen til A.
• det A er determinanten til A.

For at A-1 skal eksistere, bør det A ikke være lik null. Dette betyr:

• EN^-1eksisterer når det A ikke er null (A er ikke entall).
• EN^-1eksisterer ikke når det A er null (A er entall).

Her er trinnene for å finne inversen til en 3 × 3 matrise, ved å bruke samme eksempel:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Trinn 1: Beregn den tilstøtende matrisen (adj A).

For å finne den tilstøtende matrisen, bytt ut elementene i A med deres tilsvarende kofaktorer.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Steg 2: Finn determinanten til A (det A).

For å beregne determinanten til A, kan du bruke formelen for en 3 × 3 matrise. I dette tilfellet er det A = -8.

Trinn 3: Bruk formelen A^-1= (adj A) / (det A) for å finne den inverse matrisen A^-1.

numpy meshgrid

Del hvert element i den tilstøtende matrisen med determinanten til A:

EN ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Når det gjelder å forenkle brøkene,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Finne invers av 3 × 3 matrise ved hjelp av radoperasjoner

For å finne inversen til en 3×3-matrise, kan du følge disse trinnene:

Trinn 1: Start med den gitte 3×3-matrisen A og lag en identitetsmatrise I av samme størrelse, plasser A på venstre side og I på høyre side av en utvidet matrise, atskilt med en linje.

Steg 2: Bruk en serie radoperasjoner på den utvidede matrisen på venstre side for å transformere den til identitetsmatrisen I. Matrisen på høyre side av linjen, som blir A^-1, er inversen av den opprinnelige matrisen A.

Lære mer, Elementær operasjon av matriser

Sjekk også

• Typer matriser
• Inverterbar matrise
• Spor av en matrise

Løste eksempler på invers av 3 × 3 matrise

Eksempel 1: Finn inversen av

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Løsning:

Minor Matrix av D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Minor matrise av D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Kofaktor for matrise, dvs. X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transponering av matrise X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Nå vil vi finne determinanten til D ved å bruke den første raden:

Det D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Det D = 6+0+14

⇒ Det D = 20

Invers av matrise D eller D^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Eksempel 2: Finn inversen av

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor av matrisen E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Kofaktor for matrise E, dvs. X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

La oss nå finne determinanten for matrise E ved å bruke den første raden:

Det E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Det E= -1 + 0 + 1

Det E = 0

∴ Ettersom determinanten til matrisen E er ekvivalent med 0, er den inverse av matrisen E eller E^-1det er ikke mulig.

pandas loc

Øv spørsmål på invers av 3 × 3 matrise

Q1. Beregn inversen av følgende 3×3-matrise:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Finn inversen til matrise B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Bestem om matrisen C er inverterbar, og finn i så fall dens inverse:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Beregn inversen av matrisen D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. For matrise E, sjekk om den er inverterbar, og hvis den er det, finn dens inverse:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Invers av 3×3 Matrix – Vanlige spørsmål

1. Hva er inversen til en 3×3-matrise?

Inversen til en 3×3-matrise er en annen matrise som, multiplisert med den opprinnelige matrisen, gir identitetsmatrisen.

2. Hvorfor er det viktig å finne den inverse?

Det er viktig for å løse systemer med lineære ligninger, transformasjoner og ulike matematiske operasjoner.

3. Hvordan beregner du inversen til en 3×3-matrise?

Du finner vanligvis den tilstøtende matrisen, kontrollerer determinantens verdi som ikke er null, og bruker en spesifikk formel.

4. Når eksisterer ikke inversen til en 3×3-matrise?

Den eksisterer ikke når determinanten til matrisen er null, noe som gjør den entall.

5. Kan en hvilken som helst 3×3-matrise ha en invers?

Nei, bare ikke-singulære matriser med en determinant som ikke er null har invers.

6. Hva er rollen til Adjoint Matrix for å finne den inverse?

Den tilstøtende matrisen hjelper til med å beregne den inverse ved å gi kofaktorer for hvert element.

7. I hvilke felt er konseptet 3×3 Matrix inversjon mye brukt?

Konseptet med 3×3 Matrix-inversjon brukes i ingeniørfag, fysikk, datagrafikk og ulike matematiske disipliner.

8. Hvordan få invers av 3×3 Matrix?

For å finne inversen til en 3×3 matrise, kan du følge disse trinnene:

• Beregn først determinanten til matrisen.
• Hvis determinanten ikke er lik 0, fortsett til neste trinn. Hvis det er 0, har ikke matrisen en invers.
• Finn matrisen til mindreårige ved å lage 3×3 matriser for hvert element i den opprinnelige matrisen, unntatt raden og kolonnen til elementet du fokuserer på.
• Beregn matrisen av kofaktorer ved å bruke et mønster av pluss- og minustegn på elementene i matrisen av mindreårige.
• Transponer matrisen av kofaktorer ved å bytte rader med kolonner.
• Del til slutt den transponerte matrisen av kofaktorer med determinanten for å få inversen til 3×3-matrisen.