Enhetssirkel er en sirkel hvis radius er 1. Sentrum av enhetssirkel er ved origo(0,0) på aksen. De omkrets av enhetssirkel er 2π enheter, mens arealet av enhetssirkel er π enheter². Den bærer alle egenskapene til Circle. Enhetssirkel har ligningen x²+ og²= 1. Denne enhetssirkelen hjelper til med å definere ulike trigonometriske konsepter.

Enhetssirkel

Enhetssirkelen er ofte betegnet som S¹generalisering til høyere dimensjoner er enhetssfæren. La oss forstå mer om Unit Circle, Formel og Solved eksempler i detalj nedenfor.

Hva er enhetssirkel?

Enhetssirkel er en sirkel som har en radius på En(1) enhet. Vi bruker det kartesiske planet til å tegne en enhetssirkel og en enhetssirkel er et 2-graders polynom med to variabler. Enhetssirkelen har forskjellige anvendelser innen trigonometri og algebra og brukes hovedsakelig til å finne verdiene til forskjellige trigonometriske forhold som sin x, cos x, tan x og andre.

Definisjon av enhetssirkel

I matematikk definerer vi en enhetssirkel som stedet for et fast punkt som er i en avstand på én enhet fra sentrum av sirkelen. En enhetssirkel har en radius på én enhet og derav navnet enhetssirkel.

Likning av enhetssirkel

Vi vet at ligningen til enhver sirkel med sentrum (h, k) og radius 'r' er,

(x – h) ² + (y – k) ² = r ²

For en enhetssirkel vet vi at r er 1 enhet, og derfor er ligningen for enhetssirkelen,

(x – h) ² + (y – k) ² = 1

Formel for enhetssirkel

Hvis sentrum av enhetssirkelen er opprinnelse, dvs. (h, k) = (0, 0), så er ligningen for enhetssirkel,

x ² + og ² = 1

En enhetssirkel er representert i bildet lagt til nedenfor, med senterkoordinaten h, k og når sirkelen er ved origo er verdien av h og k null og radius AP er lik 1 enhet.

Trigonometriske funksjoner ved hjelp av enhetssirkel

Anvendelsen av Pythagoras-teoremet i en enhetssirkel kan brukes bedre til å forstå trigonometriske funksjoner. For dette anser vi at en rettvinklet trekant plasseres innenfor en enhetssirkel i det kartesiske koordinatplanet. Hvis vi legger merke til, angir radiusen til denne sirkelen hypotenusen til den rettvinklede trekanten.

Sirkelens radius danner en vektor. Dette fører til dannelsen av en vinkel, si θ med den positive x-aksen. La oss anta at x er grunnlengden og y er høydelengden til henholdsvis den rettvinklede trekanten. Dessuten er koordinatene til radiusvektorendepunktene henholdsvis (x, y).

Den rettvinklede trekanten holder sidene 1, x og y henholdsvis. Det trigonometriske forholdet kan beregnes nå, som følger:

sin θ = Høyde/hypotenus = y/1

cos θ = Base/Hypotenuse = x/1

statisk funksjon i java

Nå,

• sin θ = y
• cos θ = x
• tan θ = sin θ /cos θ = y/x

Ved å erstatte verdiene til θ, kan vi få hovedverdier for alle trigonometriske funksjoner. Tilsvarende finnes verdier av trigonometriske funksjoner med forskjellige verdier.

Unit Circle med Sin Cos og Tan

Ethvert punkt på enhetssirkelen med koordinatene (x, y), er representert ved bruk av trigonometriske identiteter som, (cosθ, sinθ). Koordinatene til radiushjørnene representerer cosinus og sinus til θ-verdiene for en bestemt verdi av θ og radiuslinjen. Vi har cos θ = x, og sin θ = y. Det er fire deler av en sirkel som hver ligger i én kvadrant, og danner en vinkel på 90°, 180°, 270° og 360°. Radiusverdiene ligger mellom -1 til 1 henholdsvis. Også sin θ og cos θ-verdiene ligger mellom henholdsvis 1 og -1.

Enhetssirkel og trigonometriske identiteter

Enhetssirkelens trigonometriske identiteter for cotangens, secant og cosecant kan beregnes ved å bruke identitetene for sin, cos og tan. Avslutningsvis får vi en rettvinklet trekant med sidene 1, x og y henholdsvis. Beregning av enhetssirkelidentitetene kan uttrykkes som,

• sin θ = y/1
• cos θ = x/1
• tan θ = y/x
• sek θ = 1/x
• cosec θ = 1/y
• barneseng θ = x/y

Enhetssirkeldiagram

Enhetssirkeldiagrammet er et diagram som inneholder verdien av den trigonometriske funksjonen sinus og cosinus for ulike vinkler. Enhetssirkeldiagrammet for det samme er lagt til nedenfor,

Enhetssirkelbord

De trigonometriske forholdstallene som brukes i enhetssirkeltabellen brukes til å liste opp koordinatene til punktene på enhetssirkelen som tilsvarer vanlige vinkler.

Enhetssirkel Pythagoras identiteter

Det er tre pytagoreiske identiteter og alle kan enkelt bevises ved å bruke konseptet med enhetssirkelen de tre pytagoreiske identitetene er,

• uten²θ + cos²θ = 1
• 1 + så²θ = sek²Jeg
• 1 + barneseng²θ = cosec²Jeg

Unit Circle Complex Plane

Komplekse tall og Complex Plane er lett forklart ved hjelp av konseptet enhetssirkel. Likningen av enhetssirkel i kompleks form er,

|z| = 1

java webtjenester

ELLER

x ² + og ² = 1

I Eulers form er komplekst tall representert som,

z = e ^den = cos t + i(sin t)

Les mer

• Trigonometrisk tabell
• Trigonometriske identiteter
• Inverse trigonometriske identiteter

Løste eksempler på enhetssirkel

Q1: Bevis at punktet Q ligger på en enhetssirkel, Q = [1/√(6), √4/√6]

Løsning:

gitt,

• Q = [1/√(6), √4/√6]

x = 1/√(6), y = √4/√6

Likning av enhetssirkel er,

x²+ og²= 1

LHS = (1/√(6))²+ (√4/√6)²

LHS = 1/6 + 4/6 = 5/6 ≠ 1

LHS ≠ RHS

Dermed ligger ikke punktet Q[1/√(6), √4/√6] på enhetssirkelen.

Spørsmål 2: Regn ut 30 ^O ved å bruke sin- og cos-verdiene til enhetssirkelen.

Løsning:

brun 30° ved bruk av sin- og cos-verdier,

brun 30° = (synd 30°)/ (cos 30°)

• uten 30° = 1/2
• cos 30° = √(3)/2

brun 30° = 1/2/√(3)/2

java main

brun 30° = 1/√(3)

Q3: Bekreft om punktet P [1/2, √(3)/2] ligger på enhetssirkelen.

Løsning:

gitt,

P = [1/2, √(3)/2]

• x = 1/2
• y = √(3)/2

Likning av enhetssirkel er,

• x²+ og²= 1

LHS

= (1/2)²+ (√(3)/2)²

= 1/4 + 3/4

= (1 + 3)/4 = 4/4

= 1

= RHS

Øvingsspørsmål om enhetssirkel

Q1. Sjekk om punktene A (1/2, 3/2) ligger på en enhetssirkel.

Q2. Sjekk om punktene A (2, 1/2) ligger på en enhetssirkel.

Q3. Finn verdien av cos 240°

Q4. Finn verdien av tan 320°

Q5. Finn verdien av sin 160°

Unit Circle – Vanlige spørsmål

Hva er enhetssirkel?

En enhetssirkel er definert som plasseringen av et punkt én enhet unna et fast punkt. Den har et senter ved (0,0) og verdien på radiusen er 1.

Hvordan sjekke om et punkt ligger på enhetssirkelen?

Ethvert punkt som ligger i et 2D-plan som har formen (x, y) settes inn i enhetssirkelligningen x²+ og²= 1 for å bekrefte om den ligger på sirkelen eller ikke.

Hva er formelen til enhetssirkel?

Enhetssirkelformelen er en formel som brukes til å representere en enhetssirkel algebraisk. Enhetssirkelformelen er gitt som,

x ² + og ² = 1

Hvorfor kalles det Unit Circle?

En enhetssirkel kalles enhetssirkel fordi den har en radius på én(1) enheter.